Question

9．如图所示，a，b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）．下列说法中正确的是（　　）

• A． a，b的线速度大小之比是$\sqrt{3}：\sqrt{2}$
• B． a，b的周期之比是$1：2\sqrt{2}$
• C． a，b的角速度大小之比是$3\sqrt{6}：4$
• D． a，b的向心加速度大小之比是9：4

Answer 1

分析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律求出线速度、周期、角速度与向心加速度，然后求出比值．

解答 解：A、卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，则$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{b}}{{r}_{a}}}$=$\sqrt{\frac{2R+R}{R+R}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，故A正确；
B、卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，周期之比：$\frac{{T}_{a}}{{T}_{b}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{a}^{3}}{{r}_{b}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{（2R）^{3}}{（3R）^{3}}}$=$\sqrt{\frac{8}{27}}$，故B错误；
C、卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r，解得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，角速度之比：$\frac{{ω}_{a}}{{ω}_{b}}$=$\sqrt{\frac{（3R）^{3}}{（2r）^{3}}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，故C正确；
D、卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，加速度之比：$\frac{{a}_{a}}{{a}_{b}}$=$\frac{{r}_{b}^{2}}{{r}_{a}^{2}}$=$\frac{（3R）^{2}}{（2R）^{2}}$=$\frac{9}{4}$，故D正确；
故选：ACD．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力是解题的关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．