Question

如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底．然后两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作．已知两个滚轮边缘线速度v恒为4m/s，每个滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯杆质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m．假定在打夯的过程中坑的深度变化及夯与坑底的作用时间均忽略不计，且夯杆底端升到坑口时，速度恰好为零．取g=10m/s²，求：
（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为多大？此时夯杆底端离坑底多高？
（2）打夯周期是多少？

Answer 1

分析：（1）假设夯杆先加速上升，最后减速上升，结合牛顿第二定律和运动学公式求出匀加速直线运动的末速度，发现大于滚轮的线速度，夯杆上升过程中经历了匀加速直线运动，匀速直线运动和匀减速直线运动．从而得知释放时的速度等于滚轮的线速度，根据速度位移公式求出速度达到滚轮速度的位移．
（2）根据运动学公式求出匀加速加速、匀速和匀减速上升的时间，然后计算自由落体的时间，总时间即为打夯周期；

解答：解：（1）匀加速阶段：2μF_N-mg=ma
解得a=2m/s²
此过程上升高度为：
h1=

v2

2a

=

42

2×2

m=4m
匀减速阶段上升高度：h2=

v2

2g

42

2×10

m=0.8m
由于h₁+h₂＜h所以杆上升过程为先加速，后匀速，再减速至零，
因此，释放时杆速度为v=4m/s，
杆离坑底h′=h-h₂=5.6m
（2）匀加速阶段：v=at₁
t₁=

v

a

=

4

2

s=2s
匀速阶段：h-h₁-h₂=vt₃
t₃=0.4s
匀减速阶段：v=gt₂
解得t₂=2s
下落阶段：h=

1

2

g

t

2 4

t₄=1.13s
总时间：t=t₁+t₂+t₃+t₄得
t=3.93s
答：（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s，此时夯杆底端离坑底5.6m
（2）打夯周期是3.93s．

点评：本题关键是分析求出夯杆的运动规律，根据牛顿第二定律和运动学公式综合求解，由于运动过程较为复杂，增加了本题难度．