Question

（2011?北京）利用电场和磁场，可以将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用．如图所示的矩形区域ACDG（AC边足够长）中存在垂直于纸面的匀强磁场，A处有一狭缝．离子源产生的离子，经静电场加速后穿过狭缝沿垂直于GA边且垂直于磁场的方向射入磁场，运动到GA边，被相应的收集器收集．整个装置内部为真空．已知被加速的两种正离子的质量分别是m₁和m₂（m₁＞m₂），电荷量均为q．加速电场的电势差为U，离子进入电场时的初速度可以忽略．不计重力，也不考虑离子间的相互作用．
（1）求质量为m₁的离子进入磁场时的速率v₁；
（2）当磁感应强度的大小为B时，求两种离子在GA边落点的间距s；
（3）在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定宽度．若狭缝过宽，可能使两束离子在GA边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离．设磁感应强度大小可调，GA边长为定值L，狭缝宽度为d，狭缝右边缘在A处．离子可以从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于GA边且垂直于磁场．为保证上述两种离子能落在GA边上并被完全分离，求狭缝的最大宽度．

Answer 1

分析：（1）离子在电场中做加速运动，电场能转化为动能，由能量的转化和守恒即可求出离子进入磁场时的速度．
（2）离子在匀强磁场中将做匀速圆周运动，此时向心力提供洛伦兹力，由带电离子在磁场中运动的半径公式可分别求出质量为m₁、m₂的粒子的轨迹半径，两个轨迹的直径之差就是离子在GA边落点的间距．
（3）由题意画出草图，通过图找出两个轨迹因宽度为d狭缝的影响，从而应用几何知识找出各量的关系，列式求解．

解答：解：
（1）动能定理  Uq=

1

2

m1

v

2 1

得：v1=

2qU m1

…①
（2）由牛顿第二定律和轨道半径有：
 qvB=

mv2

R

，R=

mv

qB

利用①式得离子在磁场中的轨道半径为别为（如图一所示）：
 R1=

2m1U qB2

，R2=

2m2U qB2

…②
两种离子在GA上落点的间距s=2(R1-R2)=

8U qB2

(

m1

-

m2

)…③
（3）质量为m₁的离子，在GA边上的落点都在其入射点左侧2R₁处，由于狭缝的宽度为d，因此落点区域的宽度也是d（如图二中的细线所示）．同理，质量为m₂的离子在GA边上落点区域的宽度也是d（如图二中的粗线所示）．为保证两种离子能完全分离，两个区域应无交叠，条件为2（R₁-R₂）＞d…④
利用②式，代入④式得：2R1(1-

m2 m1

)＞d
R₁的最大值满足：
2R_1m=L-d
得：(L-d)(1-

m2 m1

)＞d
求得最大值：dm=

m1 - m2

2 m1 - m2

L．

点评：此题考查带电粒子在有界电场中运动的问题，类似质谱仪，解题方式和磁场中运动相似，确定圆心，轨迹和半径，整体上难度较低．