Question

9．如图为荥阳市某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段对到与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H=10m，圆弧轨道BC的半径为R=3m，圆心O恰在水面．两个质量均为m=50Kg的中学生：鹏飞和金淼（视为质点）可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．（g=10m/s²）
（1）若金淼从A点由静止开始滑下，到B点时沿水平切线方向滑离轨道落在水面D点，OD=2R，则金淼滑到B点时的速度大小v_B是多少？运动过程中轨道摩擦力对其所做的功W_f是多少？
（2）若两学生从AB段某处滑下，均恰好停在B点，此时，金淼轻轻推了一下鹏飞（初速忽略），鹏飞继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，则P点离水面的高度h是多大？

Answer 1

分析 （1）金淼从B点开始做平抛运动，将运动分解，即可求出金淼到达B的速度，A到B的过程中由动能定理即可求出运动过程轨道摩擦力对其所做的功W_f．
（2）设OP与OB最近的夹角是θ，在P点离开轨道时，轨道对鹏飞的支持力是0，由重力指向圆心的分力提供向心力，结合机械能守恒与向心力的表达式即可求解．

解答 解：（1）金淼从B点开始做平抛运动，则：
 2R=v_Bt
 R=$\frac{1}{2}$gt²；
联立得：v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×3}$=2$\sqrt{15}$m/s
从A到B的过程中重力与摩擦力做功，由动能定理得：mg（H-R）+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0
得：W_f=mg（2R-H）=500×（2×3-10）J=-2000J；
（2）设OP与OB最近的夹角是θ，游客在P点时的速度为v_P，受到的支持力为N，
B到P的过程中只有重力做功，机械能守恒，得：
  mg（R-Rcosθ）=$\frac{1}{2}$m${v}_{P}^{2}$-0
在P点，根据向心力公式，有：
  mgcosθ=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
又知 cosθ=$\frac{h}{R}$，联立相关公式得：h=$\frac{2}{3}$R=$\frac{2}{3}×$3m=2m
答：
（1）金淼滑到B点时的速度大小v_B是2$\sqrt{15}$m/s，运动过程中轨道摩擦力对其所做的功W_f是-2000J．
（2）P点离水面的高度h是2m．

点评 该题中正确判断出人在P点离开轨道时，轨道对人的支持力是0，由重力指向圆心的分力提供向心力是解题的关键．