Question

5．用单位长度质量为m、单位长度电阻为r的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb′d．如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行．设匀强磁场仅存在于异名相对磁极的狭缝间，其它地方的磁场忽略不计．可认为方框的aa′边和bb′边都处在磁极之间．将方框从静止开始释放，在下落过程中其平面始终保持水平（不计空气阻力）．方框下落的最大速度为v_m．

（1）求磁极狭缝间磁感应强度B的大小（设磁场区域在竖直方向足够长）；
（2）当方框下落的加速度为$\frac{g}{3}$时，求方框的发热功率P；
（3）已知方框下落时间为t时，下落高度为h，其速度为v_t（v_t＜v_m）．若在同一时间t内，方框内产生的热量与某恒定电流I₀在该框内产生的热量相同，求恒定电流I₀的表达式．

Answer 1

分析 （1）分析方框运动的过程：方框从静止释放后，切割磁感线产生感应电流，受到向上的安培力，先做加速度减小的加速运动，最后做匀速运动，速度达到最大．根据力的平衡知识和安培力公式求解B．
（2）当方框下落的加速度为$\frac{g}{3}$时，根据牛顿第二定律和安培力公式列式，求出电路中电流I，可由P=I²R求线框发热功率．
（3）根据能量守恒定律求热量，再用焦耳定律求解恒定电流I₀的表达式．

解答 解：（1）方框质量  M=4Lm，G=Mg=4Lmg
方框电阻为 R=4Lr
方框下落速度为v时，产生的感应电动势  E=B•2L•v
感应电流   I=$\frac{E}{R}$=$\frac{Bv}{2r}$                    
方框下落过程，受到重力G及安培力F，F=BI•2L=$\frac{{B}^{2}Lv}{r}$，方向竖直向上      
当F=G时，方框达到最大速度，即v=v_m
则 $\frac{{B}^{2}L{v}_{m}}{r}$=4Lmg
磁极狭缝间磁感应强度B的大小为   B=$\sqrt{\frac{4mgr}{{v}_{m}}}$  
（2）方框下落加速度为$\frac{g}{3}$时，有，Mg-IB×2L=M•$\frac{g}{3}$
则  I=$\frac{Mg}{3BL}$=$\frac{4mg}{3B}$         
方框的发热功率 P=I²R=$\frac{16{m}^{2}{g}^{2}}{9{B}^{2}}$×4Lr=$\frac{16mgL{v}_{m}}{9}$
（3）根据能量守恒定律，有 
  Mgh=$\frac{1}{2}M{v}_{t}^{2}$+${I}_{0}^{2}Rt$
解得 I₀=$\sqrt{\frac{M}{Rt}（gh-\frac{1}{2}{v}_{t}^{2}）}$      
解得恒定电流I₀的表达式   I₀=$\sqrt{\frac{m}{rt}（gh-\frac{1}{2}{v}_{t}^{2}）}$
答：
（1）磁极狭缝间磁感应强度B的大小是$\sqrt{\frac{4mgr}{{v}_{m}}}$；
（2）当方框下落的加速度为$\frac{g}{3}$时，方框的发热功率P是$\frac{16mgL{v}_{m}}{9}$；
（3）恒定电流I₀的表达式为：I₀=$\sqrt{\frac{m}{rt}（gh-\frac{1}{2}{v}_{t}^{2}）}$．

点评 解答这类问题的关键是通过受力分析，正确分析安培力的变化情况，找出最大速度的运动特征．电磁感应与电路结合的题目，感应电动势是中间桥梁．