Question

如图所示，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径为r的细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k的轻弹簧，轻弹簧下端固定，上端恰好与管口D端齐平。质量为m的小球在曲面上距BC的高度为2r处从静止开始下滑，进入管口C端时与管壁间恰好无作用力，通过CD后压缩弹簧，在压缩弹簧过程中速度最大时弹簧的弹性势能为E_P，已知小球与BC间的动摩擦因数μ=0.5。求：

（1）小球达到B点时的速度大小v_B；

（2）水平面BC的长度s；

（3）在压缩弹簧过程中小球的最大速度v_m 。

Answer 1

（1）由机械能守恒得

mg2r=mv_B²                                                                          

解得v_B=2                                        

（2）由mg=m                                                  

得v_C=                                           

由动能定理得

mg2r－μmgs=mv_C²                                                         

解得s=3r                                                    

（3）设在压缩弹簧过程中小球速度最大时离D端的距离为x，则有

kx=mg                                 

得x=                                                     

由功能关系得 mg(r+x) -E_P = mv_m²-mv_C²                    

得  v_m=