Question

5．一根长为L的均匀细杆OA可以绕水平轴O在竖直平面内转动．杆最初在水平位置，杆上距O点$\frac{\sqrt{3}}{2}$L处放一小物体m（可视为质点），杆与小物体最初处于静止状态，如图所示．若此杆突然以角速度ω绕轴O顺时针匀速转动，问ω取什么值时，杆OA与小物体可再次相碰？已知重力加速度为g．

Answer 1

分析 当杆转动之后，小物体B将沿竖直方向自由下落．B若与杆相碰撞，一种情况是B追上杆相碰，一种情况是杆转一圈后追上B相碰，结合结合关系，抓住时间相等求出转动的角速度．

解答 解：小物体做自由落体运动，杆OA与小物体再次相遇有两种情况，
一是小物体追上杆，二是杆转动一周后追上小物体，
当两者刚好再次相碰时，对小物体有：h=$\frac{g{t}^{2}}{2}$     
对细杆OA有：θ=ω₁t  或θ+2π=ω₂t           
由几何关系知：θ=$\frac{π}{6}$，h=$\frac{L}{2}$                 
得ω₁=$\frac{π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$或ω₂=$\frac{13π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$                     
故欲使小物体和杆再次相遇必有ω≤$\frac{π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$或ω≥$\frac{13π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$    
答：欲使小物体和杆再次相遇必有ω≤$\frac{π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$或ω≥$\frac{13π}{6}\sqrt{\frac{g}{L}}$．

点评 解决本题的关键知道：
（1）杆突然转动后，小木块做自由落体运动．如果在杆转动的时间t内，杆端A恰好转到小物体的正下方使小物体与杆端相碰，即杆转过θ角的时间与小物体自由下落高度h的时间相等．
（2）求杆转动的角速度的范围．要求杆转动的角速度的临界值，就是要求两者恰好相碰时杆所转动的角速度．