Question

19．如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接，物块B沿斜面叠放在物块A上但不黏连．光滑斜面轨道与传送轨道良好对接，传送轨道平面与水平方向倾角也是θ，皮带传动装置顺时针匀速转动，物块B质量为m，初始时两物块均静止．现用平行于斜面向上的拉力拉动物块B，使B做加速度为a的匀加速运动，两物块在开始一段时间内的v-t图象如图乙所示（t₁时刻A、B的图线相切，t₂时刻对应A图线的最高点），重力加速度为g．（t₁和t₂，v₁和v₂均未知）
（1）求t₂时刻弹簧的形变长度x．
（2）求t₁的值．
（3）已知θ=37°，传送带两轮轴心相距L=5m，物体B与皮带间的动摩擦因数μ=0.25．设AB刚好在C点（斜面与传送带的连接点）分离并进入传送轨道，设物体B滑到传送带的C点时速度为8m/s，物体可视为质点，如果在物体B到达C点同时撤去拉力F，（sin37°=0.6，cos37°=0.8））若传送装置匀速转动的速度v可在v＞4m/s的范围内调节，试推导物体B滑动到顶端D时速度v_D随传送带速度v变化的关系式，g取l0m/s²．

Answer 1

分析 （1）A的速度最大时加速度为零，根据胡克定律求出A达到最大速度时的位移；
（2）由图读出，t₁时刻A、B开始分离，对A根据牛顿第二定律和运动学公式求解t₁；
（3）分传送带速度在4m/s＜v＜8m/s和v≥8m/s两个范围，根据运动学基本公式求解．

解答 解：（1）由图知，A的加速度为零，速度最大，根据牛顿第二定律和胡克定律得：
mgsinθ=kx，
得：$x=\frac{mgsinθ}{k}$
（2）由图读出，t₁时刻A、B开始分离，对A根据牛顿第二定律：
kx-mgsinθ=ma
开始时有：2mgsinθ=kx₀，又x₀-x=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$
联立以三式得：t₁=$\sqrt{\frac{2（mgsinθ-ma）}{ak}}$．
（3）当传送带的速度在4m/s＜v＜8m/s的范围内调节时，物体B先以加速度a₁减速向上滑行：${x_1}=\frac{{{v_0}^2-{v^2}}}{{2{a_1}}}$
当速度减到v后又以a₂减速向上滑行，
物体B滑动到D点时速度v_D随速度v的变化关系式是：${V_D}=\sqrt{\frac{V^2}{2}-8}$
当传送带的速度在v≥8m/s的范围内调节时，物体B将以加速度a₂减速滑行到D点，
${V_D}^2-{V_0}^2=-2aL$
物体B滑动到D点时速度v_D随速度v的变化关系式是：${V_D}=2\sqrt{6}m/s$
答：（1）t₂时刻弹簧的形变长度x为$\frac{mgsinθ}{k}$．
（2）t₁的值为$\sqrt{\frac{2（mgsinθ-ma）}{ak}}$．
（3）导物体B滑动到顶端D时速度v_D随传送带速度v变化的关系式为：当4m/s＜v＜8m/s时${V}_{D}=\sqrt{\frac{{V}^{2}}{2}-8}$，当v≥8m/s时${V}_{D}=2\sqrt{6}m/s$．

点评 从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0．从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．