Question

15．据报道，我国将于2010年实现登月计划--“嫦娥工程”
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为R_月，万有引力常量为G，试求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力与万有引力相等，月球绕地球圆周运动的向心力由万有引力提供，据此计算月球圆周运动的半径；
（2）根据竖直上抛运动规律求得月球表面的重力加速度，再根据月球表面的重力与万有引力相等计算出月球的质量M_月．

解答 解：（1）设地球质量为M，月球质量为M_月，根据万有引力定律及向心力公式得：$G\frac{{MM}_{月}}{{r}^{2}}={m}_{月}\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$…①
在地球表面重力与万有引力大小相等有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$…②
由①②两式可解得月球的半径为：$r=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）设月球表面处的重力加速度为g_月，则有v₀-（-v₀）=g_月t…④
竖直方向上有：$h=\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$…⑤
又在月球表面重力万有引力相等故有：$m{g}_{月}=G\frac{{M}_{月}m}{{{R}_{月}}^{2}}$…⑥
由④⑤⑥可解得：${M}_{月}=\frac{2{v}_{0}{{R}_{月}}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球的质量M_月为$\frac{2{v}_{0}{{R}_{月}}^{2}}{Gt}$．

点评 本题关键是从万有引力等于重力与万有引力提供圆周运动的向心力，同时掌握平抛运动的规律是正确解题的关键．