Question

12．如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径r=0.2m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k=100N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐．一个质量为m=1kg的小球放在曲面AB上，现从距BC的高度为h=0.55m处静止释放小球，它与BC间的动摩擦因数μ=0.5，小球进入管口C端时，它对上管壁有F_N=3.5mg的作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中滑块速度最大时弹簧的弹性势能为E_p=0.5J．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球第一次通过C点时的速度大小；
（2）在压缩弹簧过程中小球的最大动能E_km；
（3）小球最终停止的位置．

Answer 1

分析 （1）小球经过C端时，由合力提供向心力，对小球进行受力分析，由牛顿第二定律求小球通过C点的速度大小；
（2）在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零，由平衡条件求出弹簧的压缩量，然后结合系统的机械能守恒即可求出小球的最大动能；
（3）由功能关系和C点的向心力的表达式，即可求出．

解答 解：（1）小球进入管口C端时，对小球，由牛顿第二定律得：
3.5mg+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$    
代入数据解得：v_C=3m/s
（2）在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零．设此时滑块离D端的距离为x₀，则有：
kx₀=mg
代入数据解得：x₀=0.1m
对于小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律有：
mg（r+x₀）+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=E_km+E_p
解得小球的最大动能为：E_km=7（J）
（3）滑块从A点运动到C点过程，由动能定理得：
mg•h-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得BC间距离为：s=0.2m
小球与弹簧作用后返回C处动能不变，小滑块的动能最终消耗在与BC水平面相互作用的过程中．设物块在BC上的运动路程为sˊ，由动能定理有：
 0-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=-μmgsˊ
代入数据得：sˊ=1.1m
因为 sˊ=5s+0.1m
故最终小滑块将停在BC的中点
答：（1）小球第一次通过C点时的速度大小是3m/s；
（2）在压缩弹簧过程中小球的最大动能E_km是7J；
（3）最终小滑块将停在BC的中点．

点评 解决本题的关键要分析清楚小球的运动情况，把握每个过程的物理规律，要知道滑动摩擦力做功与总路程有关．