Question

1．如图所示，ABC为固定在竖直平面内的轨道，AB为光滑的$\frac{1}{4}$圆弧，与粗糙水平面BC相切，将质量m=0.5kg的 滑块从A点静止释放，滑块与水平面间的动摩擦因数μ₁=0.1，滑块从B点滑行L=14m后到达C点时速度为v₁=6m/s．现将BC间的一段MN用铁刷划擦，使该段的动摩擦因数变为μ₂=0.35，再使滑块从A点静止释放，到达C点的速度为v₂=4m/s．g取10m/s²．求：
（1）圆弧的半径R；
（2）MN段的长度l；
（3）若BC间用铁刷划擦的MN段的长度不变，要使滑块从B到C的运动时间最长，问铁刷划擦的MN段位于何位置？并求滑块滑行的最长时间．（结果保留三位有效数字）

Answer 1

分析 （1）滑块第一次从B到C，由动能定理可求得滑块经过B点的速度．对滑块由A到B，由动能定理列式，可求得圆弧的半径R．
（2）滑块第二次从B到C，由动能定理列式，可求得MN段的长度l．
（3）MN在最左端时滑块从B到C的运动时间最长，由运动学速度位移关系公式研究MN段，得到此过程滑块到N的速度．再平均速度求滑行的总时间．

解答 解：（1）滑块第一次从B到C，由动能定理得：
-μ₁mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得滑块经过B点时的速度  v₀=8m/s
滑块由A到B，由动能定理得
 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 R=3.2m
（2）滑块第二次从B到C，由动能定理得：
-μ₁mg（L-l）-μ₂mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 l=4m
（3）由题意分析可知，MN在最左端时滑块从B到C的运动时间最长．设此过程滑块到N的速度为v₃，则
在MN段，有 ${v}_{3}^{2}-{v}_{0}^{2}=2{μ}_{1}gl$
解得 v₃=6m/s
所以滑块滑行的最长时间 t=$\frac{l}{\frac{{v}_{0}+{v}_{3}}{2}}$+$\frac{L-l}{\frac{{v}_{3}+{v}_{2}}{2}}$
解得 t=2.57s
答：
（1）圆弧的半径R是3.2m；
（2）MN段的长度l是4m；
（3）铁刷划擦的MN段位于最左端时运动时间最长，滑块滑行的最长时间是2.57s．

点评 本题涉及力在空间的效应，运用动能定理是常用的思路，要反复运用动能定理列式解答，列式时要抓住各个过程之间的联系，如速度关系．