Question

10．如图所示，水平面上方挂一个摆长为L，摆球质量为m的单摆，若此摆球位于光滑水平面上，悬点到水平面的距离为h（h＜L），摆球在水平面上以n转/秒的转速作匀速圆周运动，求水平面受到的压力，为使摆球不离开水平面，求转速n的最大值．

Answer 1

分析 要使球不离开水平面，临界情况是对水平面的压力为零，靠拉力和重力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出转动轴的最大角速度，从而得出转速的最大值．

解答 解：对小球受力分析，如图：
根据牛顿第二定律，水平方向：Tsinθ=mω²•Lsinθ
竖直方向：Tcosθ+N=mg
联立得：N=mg-mω²•Lcosθ
ω=2πn
根据牛顿第三定律：
N′=N=mg-mω²•Lcosθ=mg-mω²h=mg-4π²n²mh．
当小球对水平面的压力为零时，有：Tcosθ=mg，Tsinθ=mlsinθω²，
解得最大角速度为：ω=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{g}{h}}$，
则最大转速为：n_max=$\frac{ω}{2π}=\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{h}}$
答：水平面受到的压力为mg-4π²n²mh，为使摆球不离开水平面，转速n的最大值为$\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{h}}$．

点评 解决本题的关键抓住小球不脱离水平面的临界状态，结合牛顿第二定律进行求解，知道角速度与转速的关系．