Question

18．如图所示，两条相互平行的光滑金属导轨相距l，其中水平部分位于同一水平面内，倾斜部分构成一倾角为θ的斜面，倾斜导轨与水平导轨平滑连接．在水平导轨区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B．两长度均为l的金属棒ab、cd垂直导轨且接触良好，分别置于倾斜和水平轨道上，ab距水平轨道面高度为h．ab、cd质量分别为2m和m，电阻分别为r和2r．由静止释放ab棒，导轨电阻不计．重力加速度为g，不计两金属棒之间的相互作用，两金属棒始终没有相碰．求
（1）ab棒刚进入水平轨道时cd棒的电流I
（2）两金属棒产生的总热量Q
（3）通过cd棒的电量q．

Answer 1

分析 （1）ab棒沿着斜面下滑过程只有重力做功，根据机械能守恒定律列式求解最大速度；进入磁场后，ab棒做切割磁感线运动，根据切割公式求解切割电动势，根据欧姆定律求解感应电流；
（2）ab、cd棒最终以相同的速度运动，根据动量守恒定律列式求解共同商定，然后结合功能关系求解产生的电热；
（3）对cd棒结合动量定理列式求解平均电流，然后根据q=It求解电荷量．

解答 解：（1）ab棒沿着斜面下滑过程，由机械能守恒定律，有：$\frac{1}{2}×2m{v}^{2}=2mgh$ 
解得：v=$\sqrt{2gh}$
ab棒刚进入磁场时，有：E=Blv，
通过cd的电流为：I=$\frac{E}{r+2r}=\frac{Bl\sqrt{2gh}}{3r}$；
（2）设ab、cd棒最终共同运动的速度为v′，由动量守恒定律，有：
2mv=3mv′
解得：v′=$\frac{2}{3}\sqrt{2gh}$
热量Q=$\frac{1}{2}×2m{v}^{2}-\frac{1}{2}×3mv{′}^{2}$
解得：Q=$\frac{2}{3}mgh$；
（3）设cd棒中平均电流为$\overline{I}$，由动量定理：$B\overline{I}l•△t=mv′$
又有：$q=\overline{I}•△t$
解得：q=$\frac{2m\sqrt{2gh}}{3Bl}$
答：（1）ab棒刚进入水平轨道时cd棒的电流I为$\frac{Bl\sqrt{2gh}}{3r}$；
（2）两金属棒产生的总热量Q为$\frac{2}{3}mgh$；
（3）通过cd棒的电量q为$\frac{2m\sqrt{2gh}}{3Bl}$．

点评 本题是滑轨问题，关键是结合切割公式、欧姆定律公式和安培力公式列式分析，同时要结合功能关系和动量定理列式，注意求解电荷量时用电流的平均值进行分析．