Question

过山车是游乐场中常见的设施，如图是一种过山车的简易模型．它由水平轨道和在竖直平面内的若干个光滑圆形轨道组成，A、B、C…分别是各个圆形轨道的最低点，第一圆轨道的半径R₁=2.0m，以后各个圆轨道半径均是前一轨道半径的k倍（k=0.8），相邻两最低点间的距离为两点所在圆的半径之和．一个质量m=1.0kg的物块（视为质点），从第一圆轨道的左侧沿轨道向右运动，经过A点时的速度大小为v₀=12m/s．已知水平轨道与物块间的动摩擦因数μ=0.5，水平轨道与圆弧轨道平滑连接． g取10m/s²，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097．试求：
（1）物块经过第一轨道最高点时的速度大小；
（2）物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小；
（3）物块能够通过几个圆轨道？

Answer 1

分析：（1）物块在第一轨道运动的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律求出物块经过第一轨道最高点的速度大小．
（2）对A到B运用动能定理，求出到达B点时的速度，在B点重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而求出物体对轨道的压力大小．
（3）设物块能够通过n个圆轨道，对全过程运用动能定理，求出第n个轨道的半径，抓住小球经过第n个圆轨道时，在最高点有临界值，即vn=

gRn

，运用数学知识求出n的范围．

解答：解：（1）设经第一个轨道最高点的速度为v，由机械能守恒有

1

2

m

v

2 0

=

1

2

mv2+2mgR1
即有v=

v 2 0 -4gR1

=

122-4×10×2

=8m/s
故物块经过第一轨道最高点时的速度大小为8m/s．
（2）设物块经B点时的速度为v_B，从A到B的过程由动能定理，
-μmg(R1+R2)=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

对物块经B点受力分析，由向心力公式有 
   FN-mg=m

v 2 B

R2

联立两式解得N=mg+m

v 2 0 -2μg(R1+R2)

R2

=10+1×

122-2×0.5×10×(2+1.6)

1.6

=77.5N
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为77.5N．　　　
故物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小为77.5N．　　　　　　　
（3）设物块恰能通过第n个轨道，它通过第n个轨道的最高点时的速度为v_n，有m

v 2 n

Rn

≥mg
对物块从A到第n个轨道的最高点的全过程由动能定理得-μmg[(R1+R2)+(R2+R3)+…(Rn-1+Rn)]-2mgRn=

1

2

m

v

2 n

-

1

2

m

v

2 0

又因为  R_n=k^n-1R₁=0.8^n-1R₁
由以上三式可整理得v₀²-2μg[（R₁+R₂+…+R_n-1）+（R₂+R₃+…+R_n）]≥5gR_n
即

v

2 0

-2μg[

R1(1-kn-1)

1-k

+

R2(1-kn-1)

1-k

]=

v

2 0

-2μgR1

(1+k)(1-kn-1)

1-k

≥5gkn-1R1
将v₀=12m/s，μ=0.5，R₁=2m，k=0.8，g=10m/s²代入上式，整理得0.8^n-1≥0.45，
即有(n-1)≤

lg0.45

lg0.8

≈3.6，解得  n≤4.6
故物块共可以通过4个圆轨道．

点评：本题综合运用了动能定理和机械能守恒定律，运用动能定理和机械能守恒定律解题注意要合理地选择研究的过程，列表达式求解．本题第（3）问较难，对数学的要求较高．