Question

7．如图甲所示光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为M=3kg的重物，另一端系一质量为m=1kg、电阻为r=0.1Ω的金属杆．在竖直平面内有间距为L=2.0m的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R=0.9Ω的电阻，其余电阻不计．磁感应强度为B=1.0T的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，重物的速度与下降的高度v-h图象如图乙所示．运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，（忽略所有摩擦，重力加速度g=10m/s²），求：

（1）电阻R中的感应电流方向；
（2）重物匀速下降的速度v；
（3）重物从释放到刚开始匀速的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R．

Answer 1

分析 （1）由右手定则判断出感应电流方向，判断出R中的电流方向．
（2）重物匀速下降时，金属杆匀速上升，受力平衡．推导出安培力，由平衡条件列式求出速度v．
（3）重物从释放到下降h的过程中，重物的重力势能减小转化为杆的重力势能和动能、重物的动能及整个回路的内能，根据能量守恒求出整个回路产生的焦耳热，根据串联电路电流关系，求出电阻R中产生的焦耳热Q_R；

解答 解：（1）释放重物后，金属杆向上运动，由右手定则可知，电阻R中的感应电流方向为Q→R→F；
（2）重物匀速下降时，金属棒匀速上升，处于平衡状态，
对金属棒，由平衡条件得：T=mg+F，
金属棒受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
对重物，由平衡条件得：T=Mg，
联立上式可得：Mg=mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
解得：v=$\frac{（M-m）g（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{2×10×1}{{1}^{2}×{2}^{2}}$=5m/s；
（3）设电路中产生的总焦耳热为Q，
由能量守恒定律得：Mgh-mgh=$\frac{1}{2}M{v}^{2}+\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，解得：Q=50J
根据串联电路特点，电阻R中产生的焦耳热：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=45J．
答：（1）电阻R中的感应电流方向为Q→R→F；
（2）重物匀速下降的速度v为5m/s；
（3）重物从释放到刚开始匀速的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R为45J．

点评 本题分别从力和能量两个角度研究电磁感应现象，关键是计算安培力和分析能量如何变化，以及把握没有感应电流产生的条件．