Question

如图所示，在倾角为θ = 30^o 的光滑斜面的底端有一个固定挡板D，小物体C靠在挡板D上，小物体B与C用轻质弹簧拴接。当弹簧处于自然长度时，B在O点；当B静止时，B在M点，OM = l。在P点还有一小物体A，使A从静止开始下滑，A、B相碰后一起压缩弹簧。A第一次脱离B后最高能上升到N点，ON = 1.5 l。B运动还会拉伸弹簧，使C物体刚好能脱离挡板D。A、B、C的质量都是m，重力加速度为g。求
　　（1）弹簧的劲度系数；
　　（2）弹簧第一次恢复到原长时B速度的大小；
　　（3）M、P之间的距离。

　　　　　　　　　

Answer 1

　解：（1）B静止时，弹簧形变量为l，弹簧产生弹力F=kl
　　B物体受力如图所示，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　根据物体平衡条件得
　　kl =mgsinθ
　　得弹簧的劲度系数k=
　　（2）当弹簧第一次恢复原长时A、B恰好分离，设此时A、B速度的大小为v₃。
　　对A物体，从A、B分离到A速度变为0的过程，根据机械能守恒定律得
　　
　　此过程中A物体上升的高度
　　得
　　（3）设A与B相碰前速度的大小为v₁，A与B相碰后速度的大小为v₂，M、P之间距离为x。对A物体，从开始下滑到A、B相碰的过程，根据机械能守恒定律得
　　
　　A与B发生碰撞，根据动量守恒定律得 m v₁=（m+m）v₂
　　设B静止时弹簧的弹性势能为E_P，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，根据机械能守恒定律得
　　
　　B物体的速度变为0时，C物体恰好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为l，弹簧的弹性势能也为E_P。对B物体和弹簧，从A、B分离到B速度变为0的过程，根据机械能守恒定律得
　　
　　解得x=9l
　　【说明】这是一道力学综合题。试题主要考查了物体的平衡、机械能守恒定律、动量守恒定律等知识。考查了学生的推理能力、应用能力。
　　着重要分析物理情景。静止、碰撞、分离、C物体恰好脱离D等状态对应的受力、能量，都是解题时要重点分析的所在。
　　尤其是A、B分离时的状态，是解决本题后两问的关键。A与B分离的条件是A、B间的相互作用力（弹力）等于零。在分离前，两者一起运动，速度和加速度都相同，A和B整体沿斜面方向受弹簧弹力和重力沿斜面方向分力而做减速运动，随弹簧形变的减小，加速度的大小也随之减小，B对A的作用力也减小，直到作用力变为零时，将要分离，分离时A的加速度大小为gsinθ，此时B的加速度大小也应为gsinθ，所以弹簧处于自然状态，即A与B在弹簧处于自然长度时分离。此后A和B的速度和加速度就不相同了。
　　第（3）问中，对学生使用机械能守恒定律时要确定研究对象、确定始末状态，提出了较高的要求，目的是希望学习中对规律的使用要规范。
　　对A物体，从开始下滑到A、B相碰的过程，根据机械能守恒定律得
　　
　　对A、B和弹簧，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，根据机械能守恒定律得
　　
　　对B物体和弹簧，从A、B分离到B速度变为0的过程，根据机械能守恒定律得
　　

　　本题难度：难