Question

4．行星绕太阳公转的轨道是椭圆，某行星的公转周期为T₀，其近日点A距太阳中心的距离为a，近日点C距太阳中心的距离为b，短轴BD长度的一半（半短轴）为c，如图所示，若太阳的质量为M，万有引力常数为G，忽略其他行星的影响，则（　　）

• A． 行星从A→B所用的时间等于$\frac{{T}_{0}}{4}$
• B． 行星通过B点时的加速度与通过D点时的加速度相同
• C． 行星在A点的线速度大小为$\sqrt{\frac{GM}{a}}$
• D． 行星在B点的加速度大小为$\frac{4GM}{（a-b）^{2}+4{c}^{2}}$

Answer 1

分析 熟记理解开普勒的行星运动三定律，根据力与速度方向的夹角判断该力是做正功还是负功．

解答 解：A、公转周期为T₀，冥王星从A→C的过程中所用的时间是0.5T₀，
由于冥王星从A→B→C的过程中，速率逐渐变小，从A→B与从B→C的路程相等，
所以冥王星从A→B所用的时间小于$\frac{{T}_{0}^{\;}}{4}$，故A错误；
B、行星通过B点和通过D点的加速度大小相等，方向相反，所以行星通过B点时的加速度与通过D点时的加速度不同，故B错误；
C、行星在以a为半径的圆轨道上的线速度大小为$\sqrt{\frac{GM}{a}}$，在椭圆轨道上的A点到圆轨道要加速，所以在椭圆轨道上的A点线速度的大小小于$\sqrt{\frac{GM}{a}}$，故C错误；
D、设B点到太阳的距离l，则${c}_{\;}^{2}+（\frac{b-a}{2}）_{\;}^{2}={l}_{\;}^{2}$，根据万有引力充当向心力知$G\frac{Mm}{{l}_{\;}^{2}}=ma$；知冥王星在B点的加速度为a=$\frac{4GM}{（a-b）_{\;}^{2}+4{c}_{\;}^{2}}$，故D正确；
故选：D

点评 正确理解开普勒的行星运动三定律是解答本题的关键，会根据力与速度方向的夹角判断该力是做正功还是负功．