Question

15．如图1为模拟过山车实验装置，光滑斜轨和光滑圆轨相连，固定在同一竖直面内，圆轨的半径为R=3.6m，一个质量为0.18kg的小球（质点），从离水平面一定高度处静止自由下滑，由斜轨进入圆轨．重力加速度g=10m/s²，问：

（1）为了使小球在圆轨内运动刚好不脱离圆轨，小球在圆轨道最高点的速度大小是多大？
（2）若小球到达圆轨最高点所受轨道压力大小恰好等于自身重力大小，那么小球开始下滑时的高度h是多大？
（3）改变h，小球在圆周轨道的最高点所受压力F_N大小也发生改变．画出小球在圆周轨道的最高点所受压力F_N与小球开始下滑时的高度h之间的关系图．

Answer 1

分析 （1）为了使小球在圆轨内运动刚好不脱离圆轨，弹力为零，重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可；
（2）小球到达圆轨最高点所受轨道压力大小恰好等于自身重力大小，对小球分析，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；从释放到最高点过程，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式；最后联立求解即可；
（3）在圆轨最高点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；从释放到最高点过程，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式；最后联立求解出支持力与高度h的函数表达式进行分析即可．

解答 解：（1）在最高点，重力提供向心力，故：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：
${v}_{0}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×3.6}$=6m/s
（2）设最高点的速度为v₁，则：
mg+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由机械能守恒，得到：
mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-0$
解得：
h=3R=10.8m
（3）设最高点的速度为v，则：
F_N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由机械能守恒定律，有：
mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-0$
解得：
F_N=h-9
故F_N-h图象如图所示：

答：（1）为了使小球在圆轨内运动刚好不脱离圆轨，小球在圆轨道最高点的速度大小是6m/s；
（2）若小球到达圆轨最高点所受轨道压力大小恰好等于自身重力大小，那么小球开始下滑时的高度h是10.8m；
（3）小球在圆周轨道的最高点所受压力F_N与小球开始下滑时的高度h之间的关系图如图所示．

点评 本题关键是对小球进行受力分析、状态分析和过程分析，结合牛顿第二定律、机械能守恒定律列式求解，基础题目．