Question

2．我国首个月球探测计划“嫦娥“工程预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址作做准备．设想载有机器人的“嫦娥”号登月飞，飞船绕行方向与月球自转方向相同．若飞船在月球上某标识物正上方通过后，至少经t时间再次经过该标识物正上方．飞船登陆月球，机器人测得某质量为m的样品重力为F．已知月球自转周期为T、引力常量为G．请试根据以上信息求：
（1）该飞船绕月飞行的周期T₁；
（2）月球的半径R；
（3）月球的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析 （1）再次经过该标识物正上方时，飞船比月球多转一周，由周期关系即可求出飞船的周期；
（2）根据万有引力定律提供向心力，结合牛顿第二定律即可求出半径；
（3）第一宇宙速度是近地轨道上的速度，由万有引力提供向心力即可求出．

解答 解：（1）设飞船绕月球的周期为T₁，则：
$\frac{t}{{T}_{1}}-\frac{t}{T}=1$
解得：${T}_{1}=\frac{tT}{t+T}$
（2）根据万有引力定律提供向心力得：$F=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}_{1}^{2}}$
解得：$R=\frac{F{t}^{2}{T}^{2}}{m•4{π}^{2}（t+T）^{2}}$
（3）设月球的第一宇宙速度v₁．根据万有引力定律提供向心力得：$F=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
联立得：v₁=$\frac{FtT}{2πm（T+t）}$
答：（1）该飞船绕月飞行的周期是$\frac{tT}{t+T}$；
（2）月球的半径是$\frac{F{t}^{2}{T}^{2}}{m•4{π}^{2}{（t+T）}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度是$\frac{FtT}{2πm（T+t）}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用即可正确解答．