Question

8．2015年7月23日美国航天局宣布，天文学家发现“另一个地球”--太阳系外行星开普勒452b．假设行星开普勒452b绕恒星公转周期为385天，它的体积是地球的5倍，其表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的2倍，它与恒星的距离和地球与太阳的距离很接近，则行星开普勒452b与地球的平均密度的比值及其中心恒星与太阳的质量的比值分别为（　　）

• A． $（\frac{8}{5}{）^{\frac{1}{3}}}$和$（\frac{365}{385}{）^2}$
• B． $（\frac{8}{5}{）^{\frac{1}{3}}}$和$（\frac{385}{365}{）^2}$
• C． $（\frac{5}{8}{）^{\frac{1}{3}}}$和$（\frac{365}{385}{）^2}$
• D． $（\frac{5}{8}{）^{\frac{1}{3}}}$和$（\frac{385}{365}{）^2}$

Answer 1

分析 在行星表面，万有引力等于重力，据此列式，再根据密度、体积公式联立方程求解，根据万有引力提供向心力，结合公转周期列式求出恒星质量的表达式，进而求出质量之比即可．

解答 解：在行星表面，万有引力等于重力，则有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
而$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
解得：ρ=$\frac{3g}{4πRG}$，
而行星开普勒452b的体积是地球的5倍，则半径为地球半径的$\root{3}{5}$倍，
则有：$\frac{{ρ}_{行}}{{ρ}_{地}}=\frac{{g}_{行}{R}_{地}}{{g}_{地}{R}_{行}}=（\frac{8}{5}）^{\frac{1}{3}}$，
行星绕恒星做匀速圆周运动过程中，根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{M′M}{{r}^{2}}=M\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：M′=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{GT}^{2}}$，
轨道半径相等，行星开普勒452b绕恒星公转周期为385天，地球的公转周期为365天，则$\frac{{M}_{恒}}{{M}_{太}}=\frac{{{T}_{地}}^{2}}{{{T}_{行}}^{2}}=（\frac{365}{385}）^{2}$，故A正确．
故选：A

点评 本题关键是根据行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，列方程求出太阳和恒星的质量，难度适中．