Question

如图所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S₁、S₂，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U₀，周期为T₀．在t=0时刻将一个质量为m电量为-q（q＞0）的粒子由S₁静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t=

T0

2

时刻通过S₂垂直于边界进入右侧磁场区．（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）
（1）求粒子到达S₂时的速度大小v和极板间距d；
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件．
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t=3T₀时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小．

Answer 1

（1）粒子在匀强电场中电场力做功等于粒子动能的增加，得：
qU0=

1

2

mv2
代入数据，得：v=

2qU m

又：d=

1

2

v(

T0

2

)，
联立以上两式，得：d=

T0

4

2qU0 m

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：qvB=

mv2

r

，
得：r=

mv

qB

使粒子不与极板相撞，则运动的半径r≥

L

4

联立以上两式，得：B≤

4

L

2mU0 q

（3）粒子在t=3T₀时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，则从s₁再次进入电场时的时刻是

5T0

2

；粒子在左右磁场中的时间是相等的，故从右向左穿过电场的中间时刻是

3T0

2

，通过与图乙比较，可以知道从右向左穿过电场时，前半段做减速运动，后半段做加速运动，前后对称．设粒子减速运动时间t时，位移恰好是

d

2

，粒子受到的电场力：F=qE
电场强度：E=

U

d

，
加速度：a=-

F

m

，
粒子做减速运动，

d

2

=vt+

1

2

at2
联立以上几个公式，解得：t=

T0

2

(

2- 2

2

)
粒子在磁场中运动的总时间：t′=

5T0

2

-

T0

2

-2×t=

2+ 2

2

T0
粒子在左右磁场中的时间是相等的且都是半个周期，所以粒子运动的总时间是一个周期，即t′=T；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：
qvB=

m4π2r

T2

，vT=2πr
得：B=

4πm

(2+ 2 )qT0

．
答：（1）粒子到达S₂时的速度

2qU m

和极板间距d=

T0

4

2qU0 m

；
（2）磁感应强度的大小应满足的条件B≤

4

L

2mU0 q

；
（3）粒子在磁场内运动的时间t′=

2+ 2

2

T0，磁感应强度的B=

4πm

(2+ 2 )qT0

．