Question

12．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．设双星的质量分别为m₁和m₂，两者相距L，求：
（1）它们的线速度大小之比．
（2）试写出它们角速度的表达式．

Answer 1

分析 （1）双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比；结合线速度与角速度的关系求出线速度之比．
（2）万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出角速度．

解答 解：（1）双星做圆周运动的角速度ω相等，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²R₁…①G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂ω²R₂…②
两星球半径之和等于两星间的距离：R₁+R₂=L，
解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$，即它们的线速度之比等于质量的反比；
（2）由①式得：ω²=G$\frac{{m}_{2}}{{L}^{2}{R}_{1}}$=G$\frac{{m}_{2}}{{L}^{2}（L-{R}_{2}）}$…③
由②式得：R₂=G$\frac{{m}_{1}}{{L}^{2}{ω}^{2}}$…④
④式代入③式得：ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$；
答：（1）它们的线速度大小之比为：m₂：m₁．
（2）它们角速度的表达式为：ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．