Question

18．如图所示，单匝正方形金属线框abcd一半处于磁感应强度为B=2T的水平有界匀强磁场中（图中虚线OO′的左侧有垂直于纸面向里的磁场）．线框在外力作用下恰好绕与其中心线重合的竖直固定转轴OO′以角速度ω=100rad/s匀速转动．线圈在转动过程中在ab、cd边的中点P、Q连接右侧电路将电流输送给小灯泡．线圈边长L=50cm，总电阻r=8Ω，灯泡电阻R=4Ω，不计P、Q的接触电阻及导线电阻．求：

（1）从图示位置开始计时，线圈转过90°的过程中穿过线圈的磁通量的变化量；
（2）在线圈持续转动过程中电压表的示数；
（3）把小灯泡换成如图乙所示的装置，平行金属板的上下极板分别接入电路，极板长为l，板间距为d，距离极板右端为D的位置安放一竖直挡板，已知l=d=D=2cm，从金属板正中间可以连续不断地射入速度为v₀=2×10⁶m/s的电子，电子的比荷为1.76×10¹¹C/kg，忽略电子的重力，电子通过极板的时间极短，可认为此过程中极板间电压不变．求多长的挡板能挡住从极板右端射出的所有电子．

Answer 1

分析 （1）根据∅=BScosθ求得初末位置的磁通量，即可求得磁通量的变化量；
（2）线框只有一条边切割产生感应电动势，求得产生的感应电动势的最大值，根据闭合电路的欧姆定律求得电压；
（3）电子在平行板中做加速偏转，根据类平抛运动求得偏转量，射出后座匀速运动，根据三角形相似求得竖直偏转量即可求得；

解答 解：（1）由题意可知${∅}_{1}=\frac{B{L}^{2}}{2}=0.25Wb$，∅₂=0
所以在线框有图示位置转过90°的过程中穿过线圈的磁通量的变化量△∅=∅₂-∅₁=-0.25Wb
（2）线框在转动过程中，abcd始终只有一个边在切割磁感线产生电动势，在磁场外的一半线框与灯泡并联构成外电路，PQ两点始终是Q点电势高，经过灯泡的电流方向会变，大小随时间成正弦规律变化，电压表为灯泡两端的有效值
产生的感应电动势的最大值为${E}_{m}=\frac{1}{2}B{L}^{2}ω$
有效值$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$
$I=\frac{E}{{R}_{外}+{R}_{内}}$
${R}_{外}=\frac{R•\frac{r}{2}}{R+\frac{r}{2}}=2Ω$，R_内=4Ω
电压表的示数U=IR=$\frac{25\sqrt{2}}{6}V$
（3）换成平行放置的金属板后，${U}_{m}=\frac{1}{2}{E}_{m}=12.5V$
设如果两板间最大电压时电子可以从极板射出
电子在极板中的加速度a=$\frac{eU}{md}$
电子在极板间飞行时间t=$\frac{l}{{v}_{0}}$
最大偏移量y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=0.55cm$
有几何关系可得$\frac{y}{\frac{l}{2}}=\frac{Y}{\frac{l}{2}+D}$
可得当班所需长度Y=1.65cm
答：（1）从图示位置开始计时，线圈转过90°的过程中穿过线圈的磁通量的变化量为-0.25Wb；
（2）在线圈持续转动过程中电压表的示数为$\frac{25\sqrt{2}}{6}V$；
（3）1.65cm长的挡板能挡住从极板右端射出的所有电子．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动规律，然后根据类似平抛运动的分运动公式列式求解，不难．