Question

18．学校开展研究性学习，某同学为了探究质量分布均匀的杆转动时的动能表达式，设计了图甲所示的实验：质量为m的均匀长直杆一端固定在转轴O处，杆由水平位置静止释放，用置于圆弧上某位置的光电门测出另一端A经过该位置时的瞬时速度v_A，并记下该位置与转轴O的高度差h．

（1）该同学用20分度的游标卡尺测得长直杆的横截面的直径如图乙为7.25mm．
（2）调节光电门在圆弧上的位置，测得多组数据如表格所示．请选择适当的数据处理方法，猜想并写出v_A与h的函数关系等式v_A²=30h．

组次	1	2	3	4	5
h/m	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30
vA（m/s）	1.73	2.12	2.46	2.74	3.00

（3）当地重力加速度g取10m/s²，不计一切摩擦，结合你找出的函数关系式，根据守恒规律写出此杆转动时动能的表达式E_K=$\frac{1}{6}$m${v}_{A}^{2}$（请用数字、质量m、速度v_A表示）．
（4）为了减小空气阻力对实验的影响，请提出一条可行性措施选择密度较大的直杆（或选择直径较小的直杆）．

Answer 1

分析 （1）20分度的游标卡尺测量精度是0.05mm，游标卡尺读数的方法，主尺读数加上游标读数，不需估读；
（2）质点的动能与速度的平方成正比，故可以求出速度的平方，再找关系；
（3）在杆上取△x长度微元，求出动能表达式，然后积分求解出总动能表达式．
（4）为了减小空气阻力对实验的影响，选择密度较大的直杆或选择直径较小的直杆．

解答 解：（1）游标卡尺的主尺读数为7mm，游标尺上第5条刻度线和主尺上某一刻度线对齐，所以游标读数为5×0.05mm=0.25mm，所以最终读数为：7mm+0.25mm=7.25mm．
（2）质点的动能与速度的平方成正比，故可以求出速度的平方，如下表：
由上述表格得到：v_A²=30h；
（3）设杆长L，杆转动的角速度为：ω=$\frac{{v}_{A}}{L}$；
在杆上取△x长度微元，设其离O点间距为x，其动能为：$\frac{1}{2}$•$\frac{m•△x}{L}$•（$\frac{{v}_{A}}{L}$•x）²；
积分得到：E_K=${∫}_{0}^{L}\frac{1}{2}$•$\frac{m•△x}{L}$•（$\frac{{v}_{A}}{L}$•x）²=$\frac{1}{6}$m${v}_{A}^{2}$；
（4）为了减小空气阻力对实验的影响，选择密度较大的直杆或选择直径较小的直杆．
故答案为：（1）7.25；（2）v_A²=30h；（3）$\frac{1}{6}$m${v}_{A}^{2}$；
（4）选择密度较大的直杆（或选择直径较小的直杆）．

点评 本题第二问数据处理时要先猜测，然后逐一验证；第三问要用到微元法，不能将将质量当作集中到重心处，只有考虑平衡时才能将质量当作集中到重心．