Question

如图所示，一束光从空气射向折射率为n＝的某种玻璃的表面．试证明当入射角i＝arctan时，反射光线与入射光线垂直．

Answer 1

[方法一] 如图所示，做出入射光线的反射光线及折射光线，并设反射角为、折射角为r、入射光线与界面间夹角为θ、折射光线与界面间的夹角为．由平面几何知识可知：当反射光线与折射光线垂直时，θ＋＝，
　　
　　
　　联立⑤、⑥两式并代入n的值可以解得：i＝arctan
　　此题得证
　　[方法二] 在下图的直角三角形中表示tani＝，由三角形中的边角关系可知：sini＝
　　因为i＝
　　
　　
　　比较①、②两式可知，θ与互为余角，即反射光线与折射光线垂直．

求解几何光学类型题目，运用数学知识解题及进行证明，是常用的方法．读者在进行相关计算时应充分利用题给条件，并与数学知识紧密结合，迅速把所求问题转化成三角形中的边角关系，是解决此类问题的关键．
　　本题是光的折射现象中的基本问题，解决本题不仅要求读者对入射角、反射角、折射角和折射率的概念清楚，而且还要根据题意正确找出各角度之间的关系，因此要求读者能对光的反射规律、折射规律灵活运用，对能力要求较高．
[方法一] 如图所示，做出入射光线的反射光线及折射光线，并设反射角为、折射角为r、入射光线与界面间夹角为θ、折射光线与界面间的夹角为．由平面几何知识可知：当反射光线与折射光线垂直时，θ＋＝，
　　
　　
　　联立⑤、⑥两式并代入n的值可以解得：i＝arctan
　　此题得证
　　[方法二] 在下图的直角三角形中表示tani＝，由三角形中的边角关系可知：sini＝
　　因为i＝
　　
　　
　　比较①、②两式可知，θ与互为余角，即反射光线与折射光线垂直．
　　入射光线与法线之间的夹角为入射角；反射光线与法线之间的夹角为反射角；折射光线与法线之间的夹角为折射角，通过审题首先应弄清楚本题所问的是哪两条光线互相垂直．介质的折射率定义为：光从真空射向介质时，入射角的正弦与折射角的正弦之比，这是解决本题的基础．
　　[思路一] 利用反证法及折射率的定义求解．若能证明当反射光线与折射光线垂直时，入射角为i＝arctan即可．
　　[思路二] 利用三角函数及折射率的定义求解．为证明反射光线与折射光线垂直，只需证明当入射角为i＝arctan时，反射光线与界面间的夹角、折射光线与界面间的夹角互余即可．