Question

2．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ=37°的光滑金属导轨ge、hc，导轨间距均为L=1m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好．金属杆a、b质量均为m=0.1kg，电阻R_a=2Ω、R_b=3Ω，其余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下的匀强磁场B₁、B₂，且B₁=B₂=0.5T．已知从t=0时刻起，杆a在外力F₁作用下由静止开始以4m/s²的加速度水平向右匀加速运动，杆b在水平向右的外力F₂作用下始终保持静止状态．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10m/s²）
（1）求外力F₂的大小随时间t变化的函数表达式；
（2）从t=0时刻起，求1s内通过杆b的电荷量；
（3）若t=0时刻起，2s内作用在杆a上的外力F₁做功W₁=13.2J，则这段时间内杆b上产生的热量为多少？

Answer 1

分析 （1）F₂作用在b棒上，b棒静止，受力平衡，由平衡条件和感应电动势的表达式、安培力大小的表达式联立即可求出F₂与时间的关系．
（2）根据电荷量q=$\overline{I}t$和欧姆定律求解电荷量
（3）对系统，运用能量守恒定律求解b的热量，由于两杆的电阻不相等，通过的感应电流相等，产生的焦耳热与电阻成正比，故得到b杆产生的热量Q_b．

解答 解：（1）由右手定则可知，a中产生的感应电流的方向向外，由左手定则可知，b杆受到的安培力的方向向左，与F₂方向相反．杆受到重力、支持力、拉力F₂和安培力的作用，因为杆b静止，所以有：F₂-B₂IL=mgtan 37°
整个电路中的电动势由杆a运动产生，故：E=B₁Lv
E=I（R_a+R_b）
又 v=at=4t
联立以上各式，解得：F₂=0.75+0.2t（N）．
（2）杆a在1 s内运动的距离为：
d=$\frac{1}{2}$at²=2 m
q=$\overline{I}$△t
$\overline{I}$=$\frac{E}{{R}_{a}+{R}_{b}}$
E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{{B}_{1}Ld}{△t}$
q=$\frac{△Φ}{{R}_{a}+{R}_{b}}$=$\frac{{B}_{1}Ld}{{R}_{a}+{R}_{b}}$
代入数据得：q=0.2 C
即1 s内通过杆b的电荷量为0.2 C
（3）设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律得：
W₁-Q=$\frac{1}{2}$mv₁²
v₁=at=8 m/s
解得：Q=10 J
从而有：Q_b=$\frac{{R}_{b}}{{R}_{a}+{R}_{b}}$Q
代入数据解得：Q_b=6 J
答：（1）外力F₂的大小随时间t变化的函数表达式为F₂=0.75+0.2t（N）；
（2）从t=0时刻起，1s内通过杆b的电荷量是0.2C；
（3）若t=0时刻起，2s内作用在杆a上的外力F₁做功为13.2J，则这段时间内杆b上产生的热量是6J．

点评 本题是双杆问题，认真审题，分析两杆的状态，根据电磁感应的规律和平衡条件求解是关键．