Question

（2010?闸北区二模）如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距lm，导轨平面与水平面成θ=37°角，上端连接阻值为R=2Ω的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度B=0.4T．质量为0.2kg、电阻为1Ω的金属棒ab，以初速度v₀从导轨底端向上滑行，金属棒ab在安培力和一平行与导轨平面的外力F的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a=3m/s²、方向和初速度方向相反，在金属棒运动过程中，电阻R消耗的最大功率为1.28W．设金属棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：
（1）金属棒产生的感应电动势的最大值
（2）金属棒初速度v₀的大小
（3）当金属棒速度的大小为初速度一半时施加在金属棒上外力F的大小和方向
（4）请画出金属棒在整个运动过程中外力F随时间t变化所对应的图线．

Answer 1

分析：（1）在金属棒运动过程中，电阻R消耗的功率最大时，回路中感应电流最大，感应电动势最大．由公式P=I²R求出感应电流的最大值，由欧姆定律求感应电动势的最大值；
（2）由于金属棒ab做匀变速直线运动，加速度方向和初速度方向相反，说明做匀减速运动，开始时速度最大，感应电动势最大，由公式?=Blv₀求出v₀的大小；
（3）当金属棒速度的大小为初速度一半时，由F_安=

B2l2v

R+r

求出安培力．已知加速度，分析上升和下降两种情况，由牛顿第二定律求外力F；
（4）根据外力F随时间t的表达式，作出图象．

解答：解：（1）电阻R消耗的功率最大时，回路中感应电流最大，则得回路中感应电流最大值  Imax=

P R

代入得 Imax=

1.28 2

A=0.8A
金属棒产生的感应电动势的最大值  ε_max=I_max（R+r）
代入得 ε_max=0.8×（2+1）V=2.4V
（2）由 ε_max=Blv₀得  v0=

?max

Bl

=

2.4

0.4×1

=6m/s
（3）当v=3m/s时，棒所受的安培力  F安=

B2l2v

R+r

=0.16N
分两种情况
ⅰ）在上升过程中 mgsinθ+f+F_安-F_外=ma  ①
又f=μmgcosθ
解得，F_外=1.16N，方向沿导轨平面向上      
ⅱ）在下降过程中mgsinθ-f-F_安-F_外=ma  ②
解得   F_外=0.04N，方向沿导轨平面向上     
（4）上升过程：F_安=

B2l2(v0-at)

R+r

=

0．42×12(6-3t)

2+1

=（0.32-0.16t）N
由①得：F_外=mgsinθ+f+F_安-ma=（1.32-0.16t）N
上升过程运动时间为t=

v0

a

=2s
 下滑过程：由②得：F_外=mgsinθ-f+F_安-ma=（084-0.16t）N
根据对称性可知，上滑过程运动时间也为t=2s．
画出金属棒在整个运动过程中外力F随时间t变化所对应的图线如图所示．

点评：本题整合了电路、力学、电磁感应等等多方面知识，综合性较强．对于图象，根据物理规律列出解析式，再作图是惯用的思路．