Question

如图所示，在倾角为30⁰的光滑斜面上放置一质量为m的物块B，B的下端连接一轻质弹簧，弹簧下端与挡板相连接，B平衡时，弹簧的压缩量为X₀，O点为弹簧的原长位置。在斜面顶端另有一质量也为m的物块A，距物块B为3X₀，现让A从静止开始沿斜面下滑，A与B相碰后立即一起沿斜面向下运动，并恰好回到O点（A、B均视为质点）。试求：

（1）A、B相碰后瞬间的共同速度的大小；

（2）A、B相碰前弹簧的具有的弹性势能；

（3）若在斜面顶端再连接一光滑的半径R=X₀的半圆轨道PQ，圆轨道与斜面相切于最高点P，现让物块A以初速度V从P点沿斜面下滑，与B碰后返回到P点还具有向上的速度，试问：V为多大时物块A恰能通过圆弧轨道的最高点？

Answer 1

解（1）设与相碰前的速度为，与相碰后共同速度为

由机械能守恒定律得  （2分）

由动量守恒定律得    （2分）

解以上二式得（2分）

（2）设、相碰前弹簧所具有的弹性势能为，从、相碰后一起压缩弹簧到它们恰好到达O点过程中，由机械能守恒定律知

（3分）

解得（2分）

（3）设物块第二次与相碰前的速度为，碰后、的共同速度为，则   （1分）

    （1分）

、一起压缩弹簧后再回到O点时二者分离，设此时共同速度为，则

（2分）

此后继续上滑到半圆轨道最高点时速度为，则

（2分）

在最高点有（1分）

联立以上各式解得（2分）