Question

4．如图所示，在矩形区域abcd内有匀强电场和匀强磁场．已知电场方向平行于ad边且由a向d，磁场方面垂直于abcd平面，ab边长为$\sqrt{3}$L，ad边长为2L．一带电粒子从ad边的中点O平行于ab方向以大小为v₀的速度射入场区，恰好做匀速直线运动；若撤去电场，其它条件不变，则粒子从c点射出场区（粒子重力不计）．
（1）求撤去电场后，该粒子在磁场中的运动时间；
（2）若撤去磁场，其它条件不变，求粒子射出电场时的速度大小；
（3）若在（2）问中，粒子射出矩形区域abcd后立即进入另一矩形磁场区域，该矩形磁场区域的磁感应强度大小和方向与（2）问中撤去的磁场完全相同，粒子经过该矩形区域后速度平行bc，试求该矩形区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）撤去电场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系求出半径和圆心角，求出圆弧长度，由$t=\frac{△s}{v}$求出时间；
（2）先根据类平抛运动判断粒子射出电场的位置，再根据动能定理求出粒子射出电场的速度；
（3）结合粒子的运动轨迹的特点，画出磁场最小的区域，然后根据几何关系求得结果．

解答 解：（1）撤去电场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆半径为R，在场区内轨迹圆所对应圆心角为θ，由几何关系有：$（R-L）_{\;}^{2}+（\sqrt{3}L）_{\;}^{2}={R}_{\;}^{2}$
$sinθ=\frac{\sqrt{3}L}{R}$
解得R=2L，$θ=\frac{π}{3}$
轨迹圆弧长为$l=Rθ=\frac{2πL}{3}$
在磁场中运动时间${t}_{磁}^{\;}=\frac{l}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{2πL}{3{v}_{0}^{\;}}$
（2）电场和磁场均存在时，粒子做匀速直线运动：$qE=q{v}_{0}^{\;}B$
撤去电场，粒子做匀速圆周运动：$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，R=2L
联解得：$qE=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2L}$
撤去磁场后，带电粒子在电场中作类平抛运动，假设带电粒子从ab边射出场区，由运动学规律有：
$L=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，而$a=\frac{qE}{m}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2L}$
解得：$t=\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$
带电粒子沿ab方向运动距离为$x={v}_{0}^{\;}t=2L$，x大于ab边长，故假设不成立，带电粒子从bc边射出场区，则${t}_{电}^{\;}=\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}^{\;}}$
只有电场时，带电粒子出场区时沿电场力方向偏距为：
$y=\frac{1}{2}a{t}_{电}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{{v}_{0}^{2}}{2L}×（\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}^{\;}}）_{\;}^{2}$=$\frac{3}{4}L$
带电粒子在电场中运动，由动能定理有：$qEy=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得带电粒子射出电场时速度大小为$v=\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}^{\;}$
（3）设粒子出电场的速度偏向角为θ，进入右侧磁场区域作圆周运动半径为r，对应轨迹圆心角为2α，粒子运动轨迹如图所示

结合（2）知$r=\frac{mv}{qB}=\frac{m•\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{7}}{2}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{7}}{2}×2L=\sqrt{7}$L，$cosθ=\frac{2}{7}\sqrt{7}$
得$θ=arccos\frac{2\sqrt{7}}{7}$
由几何知识得：$\frac{π}{2}-θ+2α=π$
解得：$α=\frac{π}{4}+\frac{θ}{2}$
所加磁场的矩形区域为efgh
矩形磁场的两边长分别为：eh=2rsinα，ef=r（1-cosα）
结合上述几式得矩形最小面积
${S}_{min}^{\;}$=ef×eh=14${L}_{\;}^{2}$$[sin（\frac{1}{2}arccos\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{π}{4}）-\frac{\sqrt{7}}{7}]$
答：（1）撤去电场后，该粒子在磁场中的运动时间$\frac{2πL}{3{v}_{0}^{\;}}$；
（2）若撤去磁场，其它条件不变，粒子射出电场时的速度大小$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}^{\;}$；
（3）若在（2）问中，粒子射出矩形区域abcd后立即进入另一矩形磁场区域，该矩形磁场区域的磁感应强度大小和方向与（2）问中撤去的磁场完全相同，粒子经过该矩形区域后速度平行bc，该矩形区域的最小面积$14{L}_{\;}^{2}[sin（\frac{1}{2}arccos\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{π}{4}）-\frac{\sqrt{7}}{7}]$．

点评 本题主要考查了带电粒子在组合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式，难度偏难．