Question

8．滑板运动是一项陆地上的“冲浪运动”，具有很强的观赏性．如图所示，abcdef为同一竖直平面内的滑行轨道，其中bc段水平，ab、dc和ef均为倾角θ=37°的斜直轨道，轨道间均用小圆弧平滑相连（小圆弧的长度可忽略）．已知H₁=5m，L=15m，H₂=1.25m，H₃=12.75m，设滑板与轨道之间的摩擦力为它们间压力的k倍（k=0.25），运动员连同滑板的总质量m=60kg．运动员从a点由静止开始下滑从c点水平飞出，在de上着陆后，经短暂的缓冲动作后只保留沿斜面方向的分速度下滑，接着在def轨道上来回滑行，除缓冲外运动员连同滑板可视为质点，忽略空气阻力，取g=l0m/s²，sin37°=06，cos37°=0.8．求：
（1）运动员从c点水平飞出时的速度大小v_c；
（2）运动员在de着陆时，沿斜面方向的分速度大小v₀；
（3）设运动员第一次和第四次滑上ef道时上升的最大高度分别为h_l和h₄，则h₁：h₄等于多少？

Answer 1

分析 （1）设运动员从a点到c点的过程中克服阻力做功W_f，根据动能定理及摩擦力做功公式即可求解；
（2）运动员从c点水平飞出到落到de轨道上的过程中做平抛运动，设从c点到着陆点经过的时间为t，根据平抛运动的基本公式及几何关系即可求解；
（3）设运动员第一次沿ed斜面向上滑的最大高度为h₁'，根据功能关系求出h₁'，同理可得，运动员第二次沿ef斜面向上滑的最大高度，以此类推，运动员第四次沿ef斜面向上滑的最大高度，即可求解．

解答 解：（1）设运动员从a点到c点的过程中克服阻力做功W_f，
根据动能定理得：mgH₁-W_f=$\frac{1}{2}{mv}_{c}^{2}$-0…①
而W_f=$kmgcosθ•\overline{ab}+kmg•\overline{bc}②$                 
  $L=abcosθ+\overline{bc}$…③
由①②③式并代入数据，解得v_c=5m/s…④
（2）运动员从c点水平飞出到落到de轨道上的过程中做平抛运动，设从c点到着陆点经过的时间为t
水平位移x=v_xt…⑤
竖直位移  $y=\frac{1}{2}g{t}^{2}⑥$
由几何关$\frac{y-{H}_{2}}{x}=tanθ$…⑦
水平方向分速度v_x=v_c…⑧
竖直方向分速度v_y=gt…⑨
v₀=v_xcosθ+v_ysinθ…⑩
由④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式并代入数据，解得v₀=10m/s
（3）设运动员第一次沿ed斜面向上滑的最大高度为h₁'，
根据功能关 $mg（{h}_{1}-{h}_{2}）=kmgcosθ（\frac{{h}_{1}}{sinθ}-\frac{{h}_{1}^{′}}{sinθ}）$
解得 ${h}_{1}^{′}=\frac{1}{2}{h}_{1}$
同理可得，运动员第二次沿ef斜面向上滑的最大高度 ${h}_{2}=\frac{1}{2}{h}_{1}^{′}=（\frac{1}{2}）^{2}{h}_{1}$
以此类推，运动员第四次沿ef斜面向上滑的最大高 ${h}_{4}=（\frac{1}{2}）^{6}{h}_{1}$
解得 $\frac{{h}_{4}}{{h}_{1}}$=$\frac{1}{64}$
答：（1）运动员从c点水平飞出时的速度大小v_c为5m/s；
（2）运动员在de上着陆时，沿斜面方向的分速度大小v₀为10m/s；
（3）设运动员第一次和第四次滑上ef轨道时上升的最大高度分别为h₁和h₄，则h₁：h₄等于1：64

点评 本题主要考查了功能关系、动能定理及平抛运动基本公式的应用，知道平抛运动落在斜面上，竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根据该关系可求出时间．难度较大．