Question

1．如图所示，倾角为30°的粗糙斜面轨道AB与半径R=0.4m的光滑轨道BDC在B点平滑相连，两轨道处于同一竖直平面内，O点为圆轨道圆心，DC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高，E、O两点等高．∠BOD=30°，质量m=2kg的滑块从A点以速度v₀（未知）沿斜面下滑，刚好能通过C点，滑块与斜面AB间动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．求：
（1）滑块经过E点时对轨道的压力；
（2）滑块从A点滑下时初速度v₀的大小．

Answer 1

分析 （1）滑块刚好能通过C点，在C点由重力提供向心力，由牛顿第二定律可求得滑块通过C点的速度．从E到C的过程，运用机械能守恒定律可求得滑块通过E点的速度．在E点，由轨道的支持力提供向心力，由牛顿运动定律求块经过E点时对轨道的压力；
（2）研究从A到C的过程，由动能定理求滑块从A点滑下时初速度v₀的大小．

解答 解：（1）滑块刚好能通过C点，在C点由重力提供向心力，由牛顿第二定律得
    mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得 v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
滑块从E到C过程，根据机械能守恒定律得 mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E点，由牛顿第二定律得 N=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
联立解得 N=3mg=3×2×10N=60N
根据牛顿第三定律可知，滑块经过E点时对轨道的压力 N′=N=60N
（2）设AB长为L，则有 Lsin30°=R+Rcos30°
可得 L=（0.8+0.4$\sqrt{3}$）m
滑块从A到C过程，根据动能定理有：
-μmgcos30°•L=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得 v₀=$\sqrt{16+6\sqrt{3}}$m/s
答：（1）滑块经过E点时对轨道的压力是60N；
（2）滑块从A点滑下时初速度v₀的大小是$\sqrt{16+6\sqrt{3}}$m/s．

点评 本题是机械能守恒定律、动能定理与向心力及几何知识的综合应用，关键要注意挖掘隐含的临界条件，知道小球通过竖直平面圆轨道最高点时，重力恰好提供向心力．