Question

16．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体的对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内做相同角速度的匀速圆周运动．如图，三颗星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

• A． 每个星体受到向心力大小均为3$\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
• B． 每个星体的角速度均为$\sqrt{\frac{3Gm}{{a}^{2}}}$
• C． 若a不变，m是原来的两倍，则周期是原来的$\frac{1}{2}$
• D． 若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先写出任意两个星星之间的万有引力，求每一颗星星受到的合力，该合力提供它们的向心力．然后用R表达出它们的轨道半径，最后写出用周期和线速度表达的向心力的公式，整理即可的出结果．

解答 解：A、对任意一个星体，受力分析如图，有：
${F}_{1}^{\;}=G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$，
${F}_{2}^{\;}=G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$，
进行正交分解有：
${F}_{1x}^{\;}={F}_{1}^{\;}cos60°=\frac{1}{2}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$
${F}_{1y}^{\;}={F}_{1}^{\;}sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$
水平方向的合力为：${F}_{x}^{\;}={F}_{1x}^{\;}+{F}_{2}^{\;}=\frac{3}{2}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$
每个星体受到的向心力为：$F=\sqrt{{F}_{x}^{2}+{F}_{1y}^{2}}=\sqrt{3}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$，故A错误；
B、每个星体绕中心做匀速圆周运动的半径$r=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$，根据万有引力提供向心力有$\sqrt{3}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}\frac{\sqrt{3}}{3}a$，解得：$ω=\sqrt{\frac{3Gm}{{a}_{\;}^{2}}}$，故B正确；
C、对每个星体，根据万有引力提供向心力$\sqrt{3}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}\frac{\sqrt{3}a}{3}$，解得$T=2π\sqrt{\frac{{a}_{\;}^{2}}{3Gm}}$，若a不变，m是原来的两倍，则周期是原来的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故C错误；
D、对每个星体，根据万有引力提供向心力$\sqrt{3}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{3}}$，解得：$v=\sqrt{\frac{Gm}{a}}$，若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的$\frac{1}{2}$，故D正确；
故选：BD

点评 解决该题首先要理解模型所提供的情景，然后能够列出合力提供向心力的公式，才能正确解答题目．