Question

10．如图所示，竖直平面内的$\frac{3}{4}$圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，质量为m的小球自A点正上方h处由静止释放，自由下落至A点时进入管道，则（　　）

• A． 为使小球能到达管道的最高点，那么h与R的关系应满足h≥$\frac{3R}{2}$
• B． 若小球通过管道最高点刚好对管道无作用力，则OC间的水平距离恰好为R
• C． 若小球通过最高点后又刚好能落到圆管的A点，则小球在最高点对内侧轨道产生是$\frac{mg}{2}$的压力
• D． 若小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，则h=3R

Answer 1

分析 小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，在最低点和最高点，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式分析．

解答 解：A、小球运动过程中机械能守恒，根据机械能守恒，为使小球能到达管道的最高点，那么h与R的关系应满足h≥R，故A正确；
B、若小球通过管道最高点刚好对管道无作用力，则重力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
v=$\sqrt{gR}$
此后的平抛运动：
x=vt
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：
x=v$\sqrt{\frac{2R}{g}}=\sqrt{2}R$
故OC=（$\sqrt{2}-1$）R
故B错误；
C、若小球通过最高点后又刚好能落到圆管的A点，根据平抛运动的分运动公式，有：
R=vt
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得：
v=$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$
小球在最高点时合力提供向心力，设受到的弹力向上，为N，则：
mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
N=$\frac{mg}{2}$
根据牛顿第三定律，小球在最高点对内侧轨道产生是$\frac{mg}{2}$的压力，故C正确；
D、若小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，根据牛顿第二定律，有：
9mg-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：
${v}_{B}=2\sqrt{2gR}$从释放到B过程，根据动能定理，有：
mg（h+2R）=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：h=2R，故D错误；
故选：C

点评 分析清楚小球的运动过程，应用牛顿第二定律、动能定理或机械能守恒定律、平抛运动规律即可正确解题．