Question

如图甲所示，长、宽分别为L₁、L₂的矩形金属线框位于竖直平面内，其匝数为n，总电阻为r，可绕其竖直中心轴O₁O₂转动．线框的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D（集流环）焊接在一起，并通过电刷和定值电阻R相连．线框所在空间有水平向右均匀分布的磁场，磁感应强度B的大小随时间t的变化关系如图乙所示，其中B₀、B₁和t₁均为已知．在0～t₁的时间内，线框保持静止，且线框平面和磁场垂直；t₁时刻后线框在外力的驱动下开始绕其竖直中心轴以角速度ω匀速转动．求：
（1）0～t₁时间内通过电阻R的电流大小；
（2）线框匀速转动后，在转动一周的过程中电流通过电阻R产生的热量；
（3）线框匀速转动后，从图甲所示位置转过90°的过程中，通过电阻R的电荷量．
（4）当线圈平面与中性面夹角为π/3时，感应电动势为多少？

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律求出0～t₁时间内感应电动势，再根据闭合电路欧姆定律求出通过电阻R的电流大小．
（2）根据E=nBSω求出感应电动势的最大值，从而求出感应电动势的有效值，根据欧姆定律求出感应电流的有效值，从而根据Q=I²Rt求出电阻R产生的热量．
（3）根据法拉第电磁感应定律结合闭合电路欧姆定律求出平均感应电流，根据q=

.

I

t求出通过电阻R的电荷量．
（4）通过从中性面开始计时感应电动势的表达式，求出线圈平面与中性面夹角为

π

3

时，感应电动势的大小．

解答：解：（1）0～t₁时间内，线框中的感应电动势E=n

△Φ

△t

=

nL1L2(B1-B0)

t1

．
根据闭合电路欧姆定律得，通过电阻R的电流
I=

E

R+r

=

nL1L2(B1-B0)

(R+r)t1

（2）线框产生的感应电动势的最大值E_m=nB₁L₁L₂ω
感应电动势的有效值E=

2

2

nB1L1L2ω
通过电阻R的电流有效值I=

2 nB1L1L2ω

2(R+r)

线框转动一周所需的时间t=

2π

ω

．
此过程中，电阻R产生的热量Q=I2Rt=πRω(

nB1L1L2

R+r

)2．
（3）线框从图甲所示位置转过90°的过程中，
平均感应电动势

.

E

=n

△Φ．

△t

=

nB1L1L2

△t

平均感应电流

.

I

=

nB1L1L2

△t(R+r)

流过电阻R的电荷量q=

.

I

△t=

nB1L1L2

R+r

．
（4）从中性面开始计时感应电动势的瞬时表达式为E=E_msinωt
当线圈平面与中性面夹角为

π

3

时，即ωt=

π

3

，则E=

3

2

nB1L1L2ω．
答：（1）0～t₁时间内通过电阻R的电流大小为

nL1L2(B1-B0)

(R+r)t1

．
（2）线框匀速转动后，在转动一周的过程中电流通过电阻R产生的热量为πRω(

nB1L1L2

R+r

)2．
（3）通过电阻R的电荷量为

nB1L1L2

R+r

．
（4）当线圈平面与中性面夹角为π/3时，感应电动势为

3

2

nB1L1L2ω．

点评：解决本题的关键掌握感应电动势的平均值、最大值、有效值和瞬时值的区别以及应用．