Question

（浙江省四校联合体2011届高三下学期开学测试理科综合试题）如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角a=30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m、电阻为R．两金属导轨的上端连接右端电路，灯泡的电阻R_L=4R，定值电阻R₁=2R，电阻箱电阻调到使R₂=12R，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，试求：
（1）金属棒下滑的最大速度为多少？
（2）R₂为何值时，其消耗的功率最大？最大的功率为多少？

Answer 1

分析：（1）金属棒ab先加速下滑，加速度减小，后匀速下滑，速度达到最大．由欧姆定律、感应电动势和安培力公式推导出安培力的表达式，根据平衡条件求解最大速度．
（2）R₂消耗的功率P=

U2

R2

，而U=IR_并，金属棒匀速下滑时，重力的功率等于电路的电功率，得到mgsin30°?v=

B2L2v

3R+R并

联立得到R₂功率P与R₂的关系式，由数学知识求最值．

解答：解：
（1）金属棒ab先加速下滑，加速度减小，后匀速下滑，速度达到最大．设最大速度为v_m．整个电路总电阻
    R_总=R+R₁+

RLR2

RL+R2

=6R
由E=BLv_m，I=

E

R总

，F=BIL，得到安培力F=

B2L2vm

R总

根据平衡条件得  mgsin30°=F
代入解得   金属棒下滑的最大速度v_m=

3mgR

B2L2

．
（2）R₂消耗的功率P=

U2

R2

，而U=IR_并=

R并

R并+3R

?BLv，R_并=

4R?R2

4R+R2

又金属棒匀速运动时，mgsin30°=

B2L2v

3R+R并

代入得到
     P=

(mgsin30°)2

B2L2

?

16R2R2

(4R+R2)2

=

m2g2

4B2L2

?

16R2

16R2 R2 +8R+R2

由数学知识得：当

16R2

R2

=R2时，即R₂=4R时，R₂消耗的功率P最大，最大值为P_m=

m2g2R

4B2L2

．
答：（1）金属棒下滑的最大速度为

3mgR

B2L2

．
    （2）R₂=4R时，R₂消耗的功率P最大，最大值为P_m=

m2g2R

4B2L2

．

点评：本题对综合应用电路知识、电磁感应知识和数学知识的能力要求较高，难度较大，但第（1）问是常规题，要得全分．