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    10．如图，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L．一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．
    （1）如图1，若轨道左端MP间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动．请通过公式推导证明：在任意一段时间△t内，拉力F所做的功与电路获取的电能相等．
    （2）如图2，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻．闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率．
    （3）如图3，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动．电容器两极板电势差随时间变化的图象如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1．求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小．

    分析 （1）根据公式E=BLv、欧姆定律、安培力公式，得到安培力表达式，由平衡条件得到F表达式，求出F做功，再与焦耳热相比较来证明．
    （2）导体棒先做加速运动，产生感应电动势，此电动势与电源的电动势相反，回路中总电动势减小，电流减小，当电流为零时，导体棒不再受安培力而做匀速运动，达到最大速度．根据感应电动势和欧姆定律结合求解．
    （3）感应电动势与电容器两极板间的电势差相等．由图象得到U与t的关系式，由E=BLv结合得到v与t的关系式，求得加速度，再由牛顿第二定律求得F．

    解答 解：（1）导体棒切割磁感线 E=BLv  
    导体棒做匀速运动 F=F安
    又 F安=BIL，I=$\frac{E}{R}$
    在任意一段时间△t内，拉力F所做的功  W=Fv△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t
    电路获取的电能△E=qE=EI△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t
    可见，在任意一段时间△t内，拉力F所做的功与电路获取的电能相等．
    （2）导体棒达到最大速度vm时，棒中没有电流．
    电源的路端电压 U=BLvm
    电源与电阻所在回路的电流  I=$\frac{E-U}{r}$
    电源的输出功率  P=UI=$\frac{EBL{v}_{m}-{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{r}$
    （3）感应电动势与电容器两极板间的电势差相等  BLv=U
    由电容器的U-t图可知 U=$\frac{{U}_{1}}{{t}_{1}}$t
    导体棒的速度随时间变化的关系为 v=$\frac{{U}_{1}}{BL{t}_{1}}$t
    可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度  a=$\frac{{U}_{1}}{BL{t}_{1}}$
    由 C=$\frac{Q}{U}$，I=$\frac{Q}{t}$
    则I=$\frac{CU}{t}$=$\frac{C{U}_{1}}{{t}_{1}}$
    由牛顿第二定律得 F-BIL=ma
    可得 F=$\frac{BLC{U}_{1}}{{t}_{1}}$+$\frac{m{U}_{1}}{BL{t}_{1}}$
    答：
    （1）证明见上．
    （2）此时电源的输出功率是$\frac{EBL{v}_{m}-{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{r}$．
    （3）导体棒运动过程中受到的水平拉力大小是$\frac{BLC{U}_{1}}{{t}_{1}}$+$\frac{m{U}_{1}}{BL{t}_{1}}$．

    点评 本题从力和能量两个角度分析电磁感应现象，安培力的表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$是常用的经验公式，要能熟练推导．对于导体棒切割类型，关键要正确分析受力，把握其运动情况和能量转化关系．

    练习册系列答案
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    C．电容C=$\frac{Q}{U}$D．感应电动势E=$\frac{△Φ}{△t}$

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    A．A、B两物体落地时的速度方向相同
    B．A、B两物体落地时的速度大小相等
    C．物体B落地时水平方向的速度大小为$\sqrt{\frac{2gL}{5}}$
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