Question

14．据报道，一儿童玩耍时不慎从20m高的阳台上无初速度掉下，在他刚掉下时恰被楼下一社区管理人员发现，该人员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童，已知管理人员到楼底的距离为10m，为确保能稳妥安全接住儿童，管理人员将尽力节约时间，但又必须保证接住儿童时没有水平方向的冲击，不计空气阻力，将儿童和管理人员都看做质点，设管理人员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g=10m/s²
（1）管理人员至少用多大的平均速度跑到楼底；
（2）若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9m/s，求管理人员奔跑时加速度的大小需满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据位移时间公式求出儿童自由落体运动的时间，结合位移和时间求出管理人员的最小平均速度．
（2）根据运动学公式判断出管理人员先加速、后匀速、再减速过程，抓住总位移和总时间，结合运动学公式求出管理人员奔跑时的加速度大小．

解答 解：（1）儿童下落过程，由运动学公式可得：$h=\frac{1}{2}g{t}_{0}^{2}$…①
管理人员奔跑的时间为：$t≤{t}_{0}^{\;}$…②
对管理人员奔跑过程，由运动学公式有：$s=\overline{v}t$…③
联立可得：$\overline{v}≥5m/s$
（2）假设管理人员先匀加速接着匀减速奔跑到楼底，奔跑过程中的最大速度为${v}_{0}^{\;}$
由运动学公式可得$\overline{v}=\frac{0+{v}_{0}^{\;}}{2}$，解得：${v}_{0}^{\;}=2\overline{v}=10m/s＞{v}_{max}^{\;}=9m/s$，再匀速，最后匀减速奔跑到楼底，
设匀加速、匀速、匀减速过程的时间分别为：${t}_{1}^{\;}、{t}_{2}^{\;}、{t}_{3}^{\;}$，位移分别为${s}_{1}^{\;}、{s}_{2}^{\;}、{s}_{3}^{\;}$
由运动学公式可得${s}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$…④，
${s}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$…⑤，
${s}_{2}^{\;}={v}_{max}^{\;}{t}_{2}^{\;}$…⑥
${v}_{max}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=a{t}_{3}^{\;}$…⑦，
${t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}≤{t}_{0}^{\;}$…⑧，
${s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}+{s}_{3}^{\;}=s$，
由④～⑨解得：$a≥\frac{81}{8}m/{s}_{\;}^{2}$
答：（1）管理人员至少用5m/s的平均速度跑到楼底；
（2）若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9m/s，管理人员奔跑时加速度的大小需满足条件$a≥\frac{81}{8}m/{s}_{\;}^{2}$

点评 解决本题的关键理清管理人员在整个过程中的运动规律，抓住总时间和总位移，结合运动学规律灵活求解，难度中等．