Question

【题目】如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P，其质量m=2×10﹣2 kg，电荷量q=0.2C．将弹簧拉至水平后，以初速度V0=20m/s竖直向下射出小球P，小球P到达O点的正下方O1点时速度恰好水平，其大小V=15m/s．若O、O1相距R=1.5m，小球P在O1点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10﹣1 kg的静止绝缘小球N相碰．碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的匀强磁场．此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5m的圆周运动．小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10m/s2 ． 那么，

（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度．
（3）若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设弹簧的弹力做功为W，有： ①

代入数据，得：W=﹣2.05J②

答：弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为﹣2.05J

（2）解：由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷．设P、N碰后的速度大小分别为v1和V，

并令水平向右为正方向，有：mv=±mv1+MV③

而： ④

若P、N碰后速度同向时，计算可得V＜v1，这种碰撞不能实现．P、N碰后瞬时必为反向运动．有： ⑤

P、N速度相同时，N经过的时间为tN，P经过的时间为tP．设此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为θ，

有： ⑥

gtN=V1sinθ=v1sinθ⑦

代入数据，得： ⑧

对小球P，其圆周运动的周期为T，有： ⑨

经计算得：tN＜T，

P经过tP时，对应的圆心角为α，有： ⑩

当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有：α1=π+θ

联立相关方程得：

比较得，tN≠tP1，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同．

当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有：a2=π﹣θ，

同上得： ，

比较得，tN≠tp2，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同．

答：小球P、N碰撞后不能在某一时刻具有相同的速度

（3）解：当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同，tN=tP=t，

再联立④⑦⑨⑩解得：

当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同tN=tP=t，

同理得： ，

考虑圆周运动的周期性，有： （给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）．

答： （给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）．

【解析】（1）对小球从水平位置到O1点的运动过程运用动能定理即可求得弹簧弹力做功；（2）速度相同，包括大小相等，方向相同．由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，在洛伦兹力作用下做圆周运动，可根据碰撞时的动量守恒，求出N的速度，假设他们的速度相同，分别计算时间，看看时间能否相等，同时要注意分情况讨论，因为磁场的方向没有说明；（3）因为磁场方向没有说明，所以同样要分情况讨论，设经过t时间他们速度相同，应用（2）中的方程，联立方程解出r，同时要注意圆周运动的周期性．