Question

8．如图，在距水平地面高为h₁=1.2m的光滑绝缘水平台面上，一个质量m=1kg、带正电q=1.0xl0^-5C的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能E_p．现打开锁扣K，物块与弹簧分离后以水平速度v₀向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC．已知B点距水平地面高h₂=0.6m，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，并与水平地面上长为L_l=1.2m的粗糙直轨道CM平滑连接，CM轨道区域存在水平向左的匀强电场，小物块穿过电场后平滑地滑上以速度v=3m/s逆时针转动的传送带，小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.4，传送带两端点MN间距离L₂=2m，小物块刚好没有从N端滑离传送带．小物块在整个运动过程中电量都保持不变，重力加速度g=10m/s²，空气阻力忽略不计．试求：

（1）压缩的弹簧在被锁扣K锁住时所储存的弹性势能E_p；
（2）匀强电场的场强大小E；
（3）小物块从开始运动到最后静止在某点的整个运动过程中摩擦力产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，求出平抛的竖直分速度，根据几何关系求出平抛的初速度，根据能量守恒定律求出弹簧的弹性势能
（2）小物块刚好没有从N端滑离传送带，到达N点时速度为零，从A到N根据能量守恒定律列式；
（3）求出物块在CM上摩擦产生的热量，再求出在传送带上摩擦产生的热量，最后求出总热量

解答 解：（1）打开锁扣K后，滑块从A到B做平抛运动，从B到C做圆周运动，设BC圆弧所对的圆心角为θ，
由几何关系有：$cosθ=\frac{{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}}{{h}_{1}^{\;}}=\frac{1.2-0.6}{1.2}=\frac{1}{2}$，得θ=60°
B点速度的竖直分量${v}_{By}^{2}=2g（{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}）$
代入数据解得：${v}_{By}^{\;}=\sqrt{2g（{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}）}=\sqrt{20×（1.2-0.6）}$=$2\sqrt{3}m/s$

将B点的速度分解如图所示，$tan60°=\frac{{v}_{By}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{{v}_{0}^{\;}}$
解得：${v}_{0}^{\;}=2m/s$
根据能量守恒：${E}_{p}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}×1×{2}_{\;}^{2}=2J$
（2）小物块刚好没有从N端滑离传送带，到达N点时速度为零，从A到N
${E}_{p}^{\;}+mg{h}_{1}^{\;}=qE{L}_{1}^{\;}+μmg（{L}_{1}^{\;}+{L}_{2}^{\;}）$
代入数据解得：$E=1.0×1{0}_{\;}^{5}V/m$
（3）设小滑块第一次到达C点时的速度为${v}_{1}^{\;}$，第一次到达M点的速度为${v}_{2}^{\;}$
${E}_{p}^{\;}+mg{h}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：${v}_{1}^{\;}=2\sqrt{7}m/s$
$μmg{L}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：${v}_{2}^{\;}=4m/s$
小物块从传送带上返回先做匀加速，速度达到3m/s后做匀速运动，过M点再次进入匀强电场，假设能再次通过C点，设此时速度为${v}_{3}^{\;}$
$qE{L}_{1}^{\;}-μmg{L}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得：${v}_{3}^{\;}=\sqrt{1.8}m/s$
且$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}=0.9J＜mg{h}_{2}^{\;}=6J$
物块滑到圆轨道某处，又下滑经C点第三次进入电场，设物块停下时距C点的距离为x
$-（qE+μmg）x=0-\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得：x=0.18m
小物块在电场中摩擦发的热${Q}_{1}^{\;}=μmg（2{L}_{1}^{\;}+x）=10.32J$
${v}_{2}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}$，得${t}_{1}^{\;}=1s$
$v=a{t}_{2}^{\;}$，得${t}_{2}^{\;}=0.75s$
小物块在传送带上发的热
${Q}_{2}^{\;}=μmg（{L}_{2}^{\;}+v{t}_{1}^{\;}）+μmg（v{t}_{2}^{\;}-\frac{v}{2}{t}_{2}^{\;}）$=24.5J
总的发热：$Q={Q}_{1}^{\;}+{Q}_{2}^{\;}=34.82J$
答：（1）压缩的弹簧在被锁扣K锁住时所储存的弹性势能${E}_{p}^{\;}$为2J；
（2）匀强电场的场强大小E为$1.0×1{0}_{\;}^{5}V/m$；
（3）小物块从开始运动到最后静止在某点的整个运动过程中摩擦力产生的热量Q为34.82J．

点评 本题考查的是一道力电综合题，关键是分析清楚物块的运动过程，选择合适的规律解题，题目阅读量量大，有一定的难度．