Question

12．如图1所示，两根电阻不计的平行光滑金属导轨MN、PQ固定于水平面内，导轨间距d=0.40m，一端与阻值R=0.15Ω的电阻相连．导轨间x≥0一侧存在一个方向与导轨平面垂直的磁场，磁感应强度沿x方向均匀减小，可表示为B=0.50（4-x）（T）．一根质量m=0.80kg、电阻r=0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直．棒在外力作用下从x=0处以初速度v₀=0.50m/s沿导轨向右运动．已知运动过程中电阻上消耗的功率不变．

（1）求金属棒在x=0处时回路中的电流；
（2）求金属棒在x=2.0m处速度的大小；
（3）金属棒从x=0运动到x=2.0m的过程中：
a．在图2中画出金属棒所受安培力F_A随x变化的关系图线；
b．求外力所做的功．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律相结合，来计算感应电流的大小；
（2）由因棒切割产生感应电动势，及电阻的功率不变，即可求解；
（3）分别求出x=0与x=2m处的安培力的大小，然后由安培力做功表达式，即可求解．

解答 解：（1）x=0处的磁感应强度B₀=2.0T，则金属棒在x=0处的电动势 E=B₀dv₀=0.40V
根据闭合电路欧姆定律，此时回路中的电流I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{0.4}{0.15+0.05}$A=2.0A
（2）因为运动过程中电阻上消耗的功率不变，所以金属棒的电动势E和回路中的电流I都保持不变，与x=0处相等．x=2m处的磁感应强度B₂=1.0T，设金属棒在x=2m处的速度为v₂，则有E=B₂dv₂

所以v₂=1.0m/s
（3）a．金属棒在x=0处所受的安培力 F₀=B₀Id=1.6N
金属棒在x=2m处所受的安培力 F₂=B₂Id=0.8N
金属棒从x=0运动到x=2m的过程中，金属棒所受安培力F_A随x变化的示意图如答图1所示．
b．在金属棒从x=0运动到x=2m的过程中，设外力做的功为W，安培力做的功为W_A，根据动能定理得
 W-W_A=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在答图1中，图线与x轴所围面积为F_A所做的功，可求得W_A=$\frac{1}{2}（{F_0}+{F_2}）x=2.4J$
所以W=2.7J
答：
（1）金属棒在x=0处时回路中的电流是2A；
（2）金属棒在x=2.0m处速度的大小是1m/s；
（3）金属棒从x=0运动到x=2.0m的过程中：
a．在图2中画出金属棒所受安培力F_A随x变化的关系图线如图；
b．外力所做的功是2.7J．

点评 考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力的大小公式、做功表达式、动能定理等的规律的应用与理解，运动过程中电阻上消耗的功率不变，是本题解题的突破口．