Question

11．如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离l=0.50m，轨道的MM′端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为R₀=0.50m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64T的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=0.80m，且其右边界与NN?重合．现有一质量m=0.20kg、电阻r=0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s=2.0m处．在与杆垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP′．已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数μ=0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g=10m/s²，求：
（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；
（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量；
（3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）先有动能定理求出进入磁场时的速度，导体棒进入磁场时金属杆切割磁感线，产生感应电流．由法拉第定律和欧姆定律可求得感应电流大小．
（2）设导体杆在磁场中运动的时间为t，求出产生的感应电动势的平均值，根据欧姆定律求出电流的平均值，进而求出电量．
（3）回路中机械能转化为内能，根据能量守恒定律求出电路中产生的焦耳热．

解答 解：（1）设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v₁，根据动能定理则有：
（F-μmg）s=$\frac{1}{2}$mv₁²
导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势为：E=Blv₁
此时通过导体杆上的电流大小为：I=$\frac{E}{R+r}$=3.8A（或3.84A）
根据右手定则可知，电流方向为由b向a
（2）设导体杆在磁场中运动的时间为t，产生的感应电动势的平均值为E_平均，则由法拉第电磁感应定律有：
E_平均=$\frac{△∅}{t}=\frac{BId}{t}$
通过电阻R的感应电流的平均值为：I_平均=$\frac{{E}_{平均}}{R+r}$
通过电阻R的电荷量为：q=I_平均t=0.512C（或0.51C）
（3）设导体杆离开磁场时的速度大小为v₂，运动到圆轨道最高点的速度为v₃，因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高点，根据牛顿第二定律对导体杆在轨道最高点时有：mg=$\frac{m{v}_{3}^{2}}{{R}_{0}}$
对于导体杆从NN′运动至PP′的过程，根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₃²+mg•2R₀
解得：v₂=5.0m/s
导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能为：△E=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²=1.1J
此过程中电路中产生的焦耳热为：Q=△E-μmgd=0.94J
答：（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小为3.8A，方向为 b 向 a；
（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量为0.51C；
（3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热为0.94J．

点评 本题综合考查了机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律、切割产生的感应电动势公式等，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．