Question

17．如图所示，粒子源S能在图示纸面内的360°范围内发射速率相同、质量为m、电量为+q的同种粒子（重力不计），MN是足够大的竖直挡板，S到板的距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，求：
（1）粒子速度至少为多大，才能有粒子到达挡板？
（2）若S发射的粒子速率为$\frac{qBL}{m}$，粒子到达挡板的最短时间是多少？

Answer 1

分析 （1）根据轨道半径的推论公式r=$\frac{mv}{qB}$，粒子的速度越大，轨道半径越大，找出临界轨迹，结合几何关系得到轨道半径，根据牛顿第二定律列式分析；
（2）若S发射的粒子速率为$\frac{qBL}{m}$，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径；要使粒子到达挡板的时间最短，对应的圆心角最小，最小弦长为L，画出轨迹，得到圆心角，进一步求解运动的时间．

解答 解：（1）挡板上的点到S的距离最小为L，所以要保证有粒子打在板上，粒子做圆周运动的最小半径对应的轨迹如图所示：

故轨道半径R=$\frac{L}{2}$；
此时粒子速度最小，设为v，根据牛顿第二定律，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
则v=$\frac{qBL}{2m}$；
（2）若S发射的粒子速率为$\frac{qBL}{m}$，根据牛顿第二定律，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得R=L；
粒子到达挡板的最短距离为L，此时所对圆心角最小，所用时间最短，如图：

由几何关系得圆心角：θ=$\frac{π}{3}$；
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$；
最短时间：t=$\frac{θ}{2π}T=\frac{πm}{3qB}$；
答：（1）粒子速度至少为$\frac{qBL}{2m}$，才能有粒子到达挡板；
（2）若S发射的粒子速率为$\frac{qBL}{m}$，粒子到达挡板的最短时间是$\frac{πm}{3qB}$．

点评 本题关键是明确粒子的动力学原理，画出运动轨迹，结合几何关系，根据牛顿第二定律列式分析，不难．