Question

8．如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面（xy平面）向外，在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负向，在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v₀的速度发射出一质量为m，电量为q的正电荷，该粒子在（d，0）点沿垂直于x轴的方向进人电场．不计重力．若该粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，求：
（1）磁感应强度B的大小
（2）电场强度E的大小
（3）带电粒子从进入电场到离开电场过程中，电场力对粒子做的功大小．

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，作出粒子运动轨迹，由几何知识求出粒子做匀速圆周运动的轨道半径，然后应用牛顿第二定律、类平抛运动规律可以求出电场强度与磁感应强度．

解答 解：（1）如图粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设磁感应强度大小为B，粒子作圆周运动的半径为R₀．
由牛顿第二定律得：$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{0}}$…①
由几何关系可知：R₀=d   …②
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$．
（2）设电场强度大小为E，粒子进入电场后沿x轴负方向的加速度大小为a_x，在电场中运动的时间为t，离开电场时沿x轴负方向的速度大小为v_y．由牛顿定律及运动学公式得：
qE=ma_x…③
v_y=at…④
$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑤
粒子在电场中做类平抛运动，如图，
$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$…⑥
联立得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}ta{n}^{2}θ}{2dq}$…⑦
（3）电场力对粒子所做的功为：W=Fd=qEd=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}ta{n}^{2}θ}{2}$．
答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qd}$；
（2）电场强度E的大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}ta{n}^{2}θ}{2dq}$；
（3）带电粒子从进入电场到离开电场过程中，电场力对粒子做的功大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}ta{n}^{2}θ}{2}$．

点评 本题考查了带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，在磁场中的匀速圆周运动，对数学的几何能力要求较高，关键画出粒子的轨迹图，结合牛顿第二定律以及向心力等知识进行求解．