Question

17．小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的5倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行（登月器减速登月及快速启动过程的时间可以忽略不计）．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为（　　）

• A． 10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$-6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$
• B． 6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$-4$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． 10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$-2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• D． 6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$-2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 对登月器和航天站依据开普勒第三定律列出等式，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天站实现对接，根据周期关系列出等式求解．

解答 解：设登月器和航天站在轨道半径为5R的轨道上运行时的周期为T，因其绕月球作圆周运动，根据万有引力等于向心力，得
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，且 r=5R
解之得 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=10π$\sqrt{\frac{5{R}^{3}}{GM}}$
在月球表面上，物体所受重力近似等于万有引力，有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
则得 GM=gR²
所以 T=10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$
设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T₁．对登月器和航天站依据开普勒第三定律分别有
    $\frac{{T}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{（5R）^{3}}{（3R）^{3}}$ 
解得 T₁=6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$
所以登月器可以在月球上停留的最短时间约为 t=T-T₁=10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$-6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$
故选：A

点评 该题考查万有引力定律的应用，解决本题的关键是掌握万有引力提供向心力公式及开普勒第三定律的公式，求出登月器和航天站的运行周期．