Question

11．如图所示，在xOy平面直角坐标系中，直线MN与y轴成30°角，P点的坐标为（-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$a，0），在y轴与直线MN之间的区域内，存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场．在直角坐标系xOy的第Ⅳ象限区域内存在沿y轴正方向、大小为E=$\frac{1}{2}$Bv₀的匀强电场，在x=3a处垂直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q，电子束以相同的速度v₀从y轴上0≤y≤2a的区间垂直于y轴和磁场方向射入磁场．已知从y=2a点射入的电子在磁场中轨迹恰好经过O点，忽略电子间的相互作用，不计电子的重力．求：
（1）电子的比荷$\frac{e}{m}$；
（2）电子垂直y轴离开磁场进入电场的位置的范围；
（3）从O点下方最远处垂直y轴进入电场的电子最终打到荧光屏上的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）从y轴上y=2a点射入磁场的电子在磁场中的轨迹恰好经过O点，得到电子圆周运动的半径为a，根据牛顿第二定律列方程求比荷；
（2）电子垂直y轴离开磁场进入电场时，且离O点最远时轨迹必须与直线MN相切，画出轨迹，由几何关系求解．
（3）粒子在磁场中运动圆轨迹必须与直线MN相切时打到荧光屏上距Q点最远，结合几何知识解答．

解答 解：（1）由题意可知电子在磁场中做圆周运动的半径为 r=a，
由Bev₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
得：$\frac{e}{m}$=$\frac{{v}_{0}}{Ba}$
（2）电子能进入磁场中，且离O点下方最远，则粒子在磁场中运动圆轨迹必须与直线MN相切，设电子轨道的圆心为O′点，由几何知识可得：
  O′M=2a
由三角函数关系可得：tan30°=$\frac{OP}{OM}$
得：OM=$\frac{5}{2}$a
有OO′=0.5a，即粒子在离开磁场离O点下方最远距离为y_m=1.5a
即电子从y轴进入电场位置在0≤y≤1.5a范围内．
（3）电子在电场中做类平抛运动，设电子在电场的运动时间为t，竖直方向位移为y，水平位移为x，则
水平方向有：x=v₀t
竖直方向有：y=$\frac{1}{2}•\frac{Ee}{m}{t}^{2}$
代入得：x=$\sqrt{4ay}$
设电子最终打在光屏的最远点距Q点为H，电子射出电场时的夹角为θ，则有：
 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{\frac{eE}{m}•\frac{x}{{v}_{0}}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{4ay}}{2a}$
有：H=（3a-x）tanθ=（3a-$\sqrt{4ay}$）•$\frac{\sqrt{4ay}}{2a}$
当3a-$\sqrt{4ay}$=$\frac{\sqrt{4ay}}{2a}$，即y=$\frac{9}{16}$a时，H有最大值，由于$\frac{9}{16}$a＜1.5a，所以H_max=$\frac{9}{8}$a
所以，电子最终打在荧光屏上的位置坐标为（3a，$\frac{9}{8}$a）
答：
（1）电子的比荷$\frac{e}{m}$为$\frac{{v}_{0}}{Ba}$．
（2）电子垂直y轴进入电场的位置的范围为0≤y≤1.5a；
（3）从O点下方最远处垂直y轴进入电场的电子最终打到荧光屏上的位置坐标为（3a，$\frac{9}{8}$a）．

点评 本题属于带电粒子在组合场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定某些物理量之间的关系；
粒子在电场中的偏转经常用化曲为直的方法，求极值的问题一定要先找出临界的轨迹，注重数学方法在物理中的应用．