Question

3．如图，A、B两行星以不同半径、相同方向绕一恒星作匀速圆周运动，A行星的周期为T₁，B行星的周期为T₂，若某一时刻两行星相距最近，则（　　）

• A． 再经过时间T₁ T₂两行星相距最近
• B． 再经过时间$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$两行星相距最近
• C． 再经过时间$\frac{2{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$两行星相距最远
• D． 再经过时间$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$两行星相距最远

Answer 1

分析 两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上；两行星相距最远时，两行星应该在同一直径上；由于A的轨道半径小，所以A的角速度大，即A转得较快；当A比B多转一圈时两行星再次相距最近；当A比B多转半圈时两行星相距最远．

解答 解：AB、卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²
可得周期为：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，半径越大周期越大，故由题意知，两卫星周期满足T₁＜T₂
某时刻两卫星相距最近，则可知经过时间t₁两卫星再次相距最近时，A卫星比B卫星多转过2π弧度，即有：
（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t₁=2π
所以可得：t₁=$\frac{2π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$
故A错误，B正确；
CD、同理当两颗卫星经过时间t₂两卫星相距最远时，A卫星比B卫星多转过π弧度，即有：
（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t₁=π
所以可得：t₂=$\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$₌$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{2（T}_{2}-{T}_{1}）}$
故C错误，D正确；
故选：BD

点评 根据几何关系得到两颗卫星相距最近和相距最远所满足的角度关系，最近时两卫星在同一半径上角度差为2π弧度，卫星相距最远时，两卫星在同一直径上，转过的角度差为π弧度，这是解决本题的关键．