Question

4．如图1所示，两根水平的金属光滑平行导轨，其末端连接等高光滑的$\frac{1}{4}$圆弧，其轨道半径r=0.5m，圆弧段在图中的cd和ab之间，导轨的间距为L=0.5m，轨道的电阻不计．在轨道的顶端接有阻值为R=2.0Ω的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=2.0T．现有一根长度稍大于L、电阻不计，质量m=1.0kg的金属棒，从轨道的水平位置ef开始在拉力F作用下，从静止匀加速运动到cd的时间t₀=2.0s，调节拉力使金属棒接着沿圆弧做匀速圆周运动至ab处，已知金属棒在ef和cd之间运动时的拉力随时间变化的图象如图2所示，已知F₀=3.0N．重力加速度g=10m/s²．求：

（1）金属棒做匀加速运动的加速度a；
（2）金属棒做匀加速运动时通过金属棒的电荷量q；
（3）金属棒从cd沿$\frac{1}{4}$圆弧做匀速圆周运动至ab的过程中，拉力做的功W_F．

Answer 1

分析 （1）据金属棒做匀加速运动，利用运动学公式和在cd时，利用牛顿第二定律、感应电动势、欧姆定律和安培力公式联合求解．（2）利用法拉第电磁感应定律和电流公式联合求解．（3）利用能量守恒、圆周运动的知识和产生的焦耳热联合求解．

解答 解：（1）设金属棒匀加速运动的加速度为a，则运动到cd的速度：v=2a 
当金属棒在cd时为研究对象，产生的感应电动势：E=BLv
产生的电流：I=$\frac{E}{R}$
金属棒所受的安培力：F=BIL
据牛顿第二定律得：F₀-F=ma
联立以上带入数据解得：a=1.5m/s²    ①
（2）据以上可知，金属棒匀加速运动的位移：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$     ②
据法拉第电磁感应定律得：E₁=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{BLs}{△t}$    ③
通过金属棒的平均电流：${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{R}$    ④
通过金属棒的电量：q=I₁•△t   ⑤
联立①②③④⑤带入数据解得：q=1.5C
（3）金属棒在圆弧轨道的速率：v=at=3m/s     ⑥
运动的时间为：t=$\frac{2πr}{4v}$   ⑦
产生的电动势最大值：E_m=BLv  ⑧
由于圆弧段导体棒做的是匀速圆周运动，所以导体棒中产生正弦式电流，所以产生的热量：
  Q=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}）^{2}}{R}$t    ⑨
据能量守恒可知：W=Q+mgh    （10）
联立以上解得：W=5.59J
答：
（1）金属棒做匀加速运动的加速度1.5m/s²；
（2）金属棒做匀加速运动时通过金属棒的电荷量1.5C；
（3）金属棒从cd沿$\frac{1}{4}$圆弧做匀速圆周运动至ab的过程中，拉力做的功为5.59J．

点评 此题为一道综合性很强的题，牵涉知识点众多，明确求电动势、安培力、电量和功的方法是解题的关键，灵活利用求电量和能量守恒的结论是解题的捷径．