Question

15．如图所示为常见的高速公路出口匝道，把AB段和CD段均简化为直线，汽车均做匀减速直线运动，BC段按照四分之一的水平圆周分析，汽车在此段做匀速圆周运动，圆弧段限速v₀=36km/h，动摩擦因数μ=0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．已知AB段和CD段长度分别为200m和100m，汽车在出口的速度为v₁=108km/h．重力加速度g取l0m/s²．
（1）若轿车到达B点速度刚好为36km/h，求轿车在AB下坡段加速度的大小；
（2）为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值；
（3）轿车恰好停在D点，则A点到D点的时间．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移公式求解轿车在AB下坡段加速度的大小；
（2）汽车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达最大值时，半径R最小；
（3）根据运动学公式求A点到D点的时间；

解答 解：${v}_{0}^{\;}=36km/h=10m/s$         ${v}_{1}^{\;}=108km/h=30m/s$
（1）对AB段匀减速直线运动有：${v}_{0}^{\;}-{v}_{1}^{2}=-2a{l}_{AB}^{\;}$
代入数据：$1{0}_{\;}^{2}-3{0}_{\;}^{2}=-2a×200$
解得$a=2m/{s}_{\;}^{2}$
（2）汽车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供向心力
${F}_{f}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
当静摩擦力达最大静摩擦力时，半径R最小
$μmg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得$R=\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}=\frac{1{0}_{\;}^{2}}{0.2×10}=50m$
解得R≥50m，即最小半径为50m
（3）设AB段时间为${t}_{1}^{\;}$，BC段时间为${t}_{2}^{\;}$，CD段时间为${t}_{3}^{\;}$，全程所用最短时间为t
${l}_{AB}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$
$\frac{πR}{2}={v}_{0}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
${l}_{CD}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{3}^{\;}$
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$
解得：t=37.85s
答：（1）若轿车到达B点速度刚好为36km/h，轿车在AB下坡段加速度的大小为$2m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC半径R的最小值为50m；
（3）轿车恰好停在D点，则A点到D点的时间37.85s

点评 本题是运动学与动力学综合题，能结合物体的运动情况，灵活选择运动学的公式形式是关键，当不涉及加速度而要求时间时，可用位移等于平均速度乘以时间来求．