Question

10．如图，足够长的U型光滑金属导轨及其所构成的平面与水平面成θ角（0＜θ＜90°），其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直．导轨电阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，金属棒接入电路部分的电阻为R．当金属棒在这一过程中产生的焦耳热为Q时，其速度大小为v，求：
（1）这一过程金属棒沿导轨下滑的距离x．
（2）这一过程通过金属棒某一横截面的电荷量q．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒确定ab棒重力势能的减小量与ab棒产生的焦耳热和动能之间的关系．求解下滑的位移大小，
（2）根据电磁感应定律：$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$和欧姆定律：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$结合电流电量之间的关系：q=$\overline{I}t$=$\frac{△∅}{R}$求解电量．

解答 解：（1）有能量守恒定律，可知ab棒下滑时，减少的重力势能转化为ab棒的动能和回路中的焦耳热，
即：$mgxsinθ=\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，
解得：x=$\frac{Q+\frac{1}{2}m{v}^{2}}{mgsinθ}$=$\frac{2Q+m{v}^{2}}{2mgsinθ}$
（2）根据电磁感应定律：$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$=$\frac{BLx}{△t}$，
再由欧姆定律：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$=$\frac{BLx}{R△t}$，
由电流电量之间的关系：q=$\overline{I}t$=$\frac{BLx}{R△t}△t=\frac{BLx}{R}=\frac{2BLQ+BLm{v}^{2}}{2mgRsinθ}$
答：（1）金属棒沿导轨下滑的距离x为$\frac{2Q+m{v}^{2}}{2mgsinθ}$．
（2）这一过程通过金属棒某一横截面的电荷量q为$\frac{2BLQ+BLm{v}^{2}}{2mgRsinθ}$．

点评 电磁感应综合题中，常常用到能量守恒定律和这个经验公式：感应电量q=n$\frac{△∅}{R}$，但在计算题中，不能直接作为公式用，要推导．