Question

如图，在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l；水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R=0.4m，l=2.5m，v₀=6m/s，物块质量m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4，轨道其他部分摩擦不计．取g=10m/s²．求：

（1）物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力；

（2）物块从Q运动到P的时间及弹簧获得的最大弹性势能；

（3）调节仍以v₀从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l长度是多少时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

Answer 1

考点：动能定理；向心力．

专题：动能定理的应用专题．

分析：（1）对从初始位置到圆弧轨道的最高点过程，根据动能定理列式求解最高点的速度；在圆弧轨道的最高点，重力和弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解弹力；

（2）只有在PQ阶段有机械能损失，对从Q到P过程，根据牛顿第二定律求解加速度，根据位移公式求解时间，根据速度公式求解末速度；从P点到最左端过程，弹簧获得的最大弹性势能等于在P位置的动能；

（3）先根据牛顿第二定律求解物体恰能经过圆弧最高点的速度，然后对运动的全程根据动能定理列式求解l的距离．

解答：  解：（1）对从初始位置到圆弧轨道的最高点过程，根据动能定理，有：

﹣mg（2R）=

在圆弧轨道的最高点，根据牛顿第二定律，有：

mg+N=m

联立解得：

N=40N

根据牛顿第三定律，物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力为40N；

（2）从Q到P过程，滑块的加速度为：a=﹣μg=﹣4m/s²；

根据位移公式，有：x=，代入数据解得：

t=0.5s或t=2.5s（不可能速度减小为零后反向加速，故舍去）

在P点的速度为：v₂=v₀+at=6﹣4×0.5=4m/s

故最大弹性势能为：

（3）物块恰能不脱离轨道返回A点，在圆轨道最高点的速度为：

对从开始到第二次到圆轨道的最高点过程，根据动能定理，有：

﹣mg（2R）﹣μmg•2l=

解得：

2l===3.8m

故l=1.9m

答：（1）物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力为40N；

（2）物块从Q运动到P的时间为1s，弹簧获得的最大弹性势能为8J；

（3）调节仍以v₀从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l长度是1.9m时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

点评：本题综合考查了运动学公式、向心力公式、动能定理、牛顿第二定律，以及知道小球不脱离圆轨道的条件，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．